Eine Parallelprojektion ist eine Projektion eines Objekts im dreidimensionalen Raum auf eine feste Ebene, die als Bildebene der Projektionsebene oder bekannt ist Die Strahlenstrahlen bekannt als Sichtlinien oder Projektionslinien sind parallel zueinander. Es ist ein grundlegendes Werkzeug in der beschreibenden Geometrie. Die Projektion wird als orthographisch bezeichnet, wenn die Strahlen senkrecht zur Bildebene (orthogonal) sind, und schräg oder schräg wenn dies nicht der Fall ist.
Überblick [ edit ]
Eine Parallelprojektion ist ein besonderer Fall der -Projektion in der Mathematik und der grafischen Projektion . in der technischen Zeichnung. Parallele Projektionen können als Grenze einer zentralen oder perspektivischen Projektion angesehen werden, bei der die Strahlen einen festen Punkt passieren, der als Mittelpunkt oder bezeichnet wird, da dieser Punkt gegen unendlich gerichtet ist. Anders ausgedrückt, entspricht eine parallele Projektion einer perspektivischen Projektion mit einer unendlichen Brennweite (Abstand zwischen dem Objektiv und dem Brennpunkt in der Fotografie) oder "Zoom". Bei parallelen Projektionen bleiben im dreidimensionalen Raum parallele Linien im zweidimensionalen projizierten Bild parallel.
Eine perspektivische Projektion eines Objekts wird oft als realistischer angesehen als eine Parallelprojektion, da sie dem menschlichen Sehen und der Fotografie eher ähnelt. Parallele Projektionen sind jedoch in technischen Anwendungen beliebt, da die Parallelität der Linien und Flächen eines Objekts erhalten bleibt und direkte Messungen aus dem Bild entnommen werden können. Unter parallelen Projektionen sind orthographische Projektionen am realistischsten und werden üblicherweise von Ingenieuren verwendet. Andererseits sind bestimmte Arten von schrägen Projektionen (z. B. die Kavalierprojektion, die militärische Projektion) sehr einfach zu implementieren und werden verwendet, um schnelle und informelle Bilder von Objekten zu erstellen.
Der Begriff Parallelprojektion wird in der Literatur verwendet, um sowohl das Verfahren selbst (eine mathematische Abbildungsfunktion) als auch das durch das Verfahren erzeugte resultierende Bild zu beschreiben. .
Eigenschaften [ edit ]
Jede Parallelprojektion hat folgende Eigenschaften.
Orthographische Projektion [ edit ]
Die orthographische Projektion wird von den Prinzipien der beschreibenden Geometrie abgeleitet ist eine Art Parallelprojektion, bei der die Projektionsstrahlen senkrecht zur Projektionsebene liegen. Dies ist die Projektionsart der Wahl für Arbeitszeichnungen.
Der Begriff orthographisch ist manchmal speziell für Darstellungen von Objekten reserviert, bei denen die Hauptachsen oder -ebenen des Objekts parallel zur Projektionsebene (oder dem Papier, auf dem die orthographische oder parallele Projektion gezeichnet wird) sind. Der Begriff Multiview-Projektion wird jedoch auch verwendet. In Multiview-Projektionen werden bis zu sechs Bilder eines Objekts erzeugt, wobei jede Projektionsebene senkrecht zu einer der Koordinatenachsen liegt. Unterarten von orthografischen Mehrfachsichtprojektionen umfassen Pläne Elevationen und Abschnitte .
Wenn die Hauptebenen oder -achsen eines Objekts nicht parallel zur Projektionsebene liegen, sondern eher geneigt sind, um mehrere Seiten des Objekts sichtbar zu machen, spricht man von einer axonometrischen Projektion. [1] ] Axonometrische Projektion (nicht zu verwechseln mit dem eng verwandten Prinzip der Axonometrie wie in Pohlkes Theorem beschrieben) wird weiter in drei Gruppen unterteilt: isometrische dimetrisch und trimetrische Projektion abhängig von dem exakten Winkel, in dem die Ansicht von der Orthogonalität abweicht. [2][3] Ein typisches Merkmal von axonometrischen Bildelementen ist, dass eine Raumachse normalerweise als vertikal dargestellt wird.
Schrägprojektion [ edit ]
Bei einer Schrägprojektion stehen die parallelen Projektionsstrahlen nicht senkrecht zur Betrachtungsebene, sondern treffen auf die Projektion Ebene in einem anderen Winkel als neunzig Grad. [2] Sowohl bei der orthographischen als auch bei der schrägen Projektion erscheinen parallele Linien im Raum parallel auf dem projizierten Bild. Aufgrund ihrer Einfachheit wird die Schrägprojektion ausschließlich zu bildlichen Zwecken und nicht für formale Arbeitszeichnungen verwendet. In einer Schrägbildzeichnung sind die angezeigten Winkel zwischen den Achsen sowie die Verkürzungsfaktoren (Skala) beliebig. Die dadurch erzeugte Verzerrung wird normalerweise dadurch gedämpft, dass eine Ebene des abgebildeten Objekts parallel zur Projektionsebene ausgerichtet wird, wodurch ein Bild der gewählten Ebene mit der richtigen Größe und voller Größe erzeugt wird. Spezielle Arten von schrägen Projektionen umfassen Militär Cavalier und Schrankprojektion . [4]
Analytische Darstellung
] Wenn die Bildebene gegeben ist durch die Gleichung und die Projektionsrichtung von dann die Projektionslinie durch den Punkt wird mit parametrisiert
- mit .
Das Bild
- -
p → 19 n → n → v v [19659339] v ] → . { displaystyle P ': ~ { vec {p}}' = { vec {p}} + { frac {d - { vec {p}} cdot { vec {n}}} {{ vec {n}} cdot { vec {v}}} ; { vec {v}} .} In einigen Fällen können diese Formeln vereinfacht werden.
(S1) Wenn man die Vektoren auswählen kann ] und so dass vereinfacht die Formel für das Bild
(S2) In einer orthographischen Projektion werden die Vektoren und sind parallel. In diesem Fall kann man wählen und man bekommt
(S3) Wenn man die Vektoren auswählen kann so dass und wenn die Bildebene den Ursprung enthält, hat man [19659238] d
= 0 { displaystyle d = 0} und die Parallelprojektion ist eine lineare Abbildung :(Hier ist die Identitätsmatrix und das äußere Produkt.)
Aus dieser analytischen Darstellung einer Parallelprojektion können die meisten Eigenschaften abgeleitet werden, die in den vorherigen Abschnitten angegeben wurden.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit ]
- Schaum's Outline: Descriptive Geometry McGraw- Hill, (1. Juni 1962), ISBN 978-0070272903
- Joseph Malkevitch (April 2003), "Mathematics and Art", Feature Column Archive Amerikanische Mathematische Gesellschaft
- Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek (Dezember 1978), "Planare geometrische Projektionen und Betrachtungsumwandlungen", ACM Computing Surveys 10 (4): 465–502, doi: 10.1145 / 356744.356750
und die Parallelprojektion ist eine lineare Abbildung 
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