Natürliche Dichte - Wikipedia

In der Zahlentheorie natürliche Dichte (auch als asymptotische Dichte oder arithmetische Dichte bezeichnet) ist eine der Möglichkeiten, um zu messen, wie groß eine Teilmenge davon ist Die Menge der natürlichen Zahlen ist.

Es wird intuitiv angenommen, dass es mehr positive Ganzzahlen als perfekte Quadrate gibt, da jedes perfekte Quadrat bereits positiv ist und es darüber hinaus viele andere positive Ganzzahlen gibt. Die Menge der positiven ganzen Zahlen ist jedoch nicht größer als die Menge der perfekten Quadrate: Beide Mengen sind unendlich und zählbar und können daher in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung gestellt werden. Wenn man jedoch die natürlichen Zahlen durchläuft, werden die Quadrate immer knapper. Der Begriff der natürlichen Dichte macht diese Intuition präzise.

Wenn eine ganze Zahl zufällig aus dem Intervall [1 n ] ausgewählt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zu A gehört, das Verhältnis der Anzahl der Elemente von . A in [1 n ] zur Gesamtzahl der Elemente in [1 n ]. Wenn diese Wahrscheinlichkeit zu einer gewissen Grenze neigt, da n zur Unendlichkeit neigt, wird diese Grenze als asymptotische Dichte von A bezeichnet. Dieser Begriff kann als eine Art Wahrscheinlichkeit verstanden werden, eine Zahl aus der Menge A zu wählen. Tatsächlich wird die asymptotische Dichte (sowie einige andere Arten von Dichten) in der Wahrscheinlichkeitszahlentheorie untersucht.

Asymptotische Dichte kontrastiert beispielsweise mit der Schnirelmann-Dichte. ^{[ erforderliche Klärung ]} Ein Nachteil der asymptotischen Dichte ist, dass sie nicht für alle Untersätze von ${ displaystyle mathbb {N}}$.

Definition [ edit ]

Eine Teilmenge Eine von positiven ganzen Zahlen hat eine natürliche Dichte α wenn der Anteil der Elemente von Ein unter allen natürlichen Zahlen von 1 bis n konvergiert zu α während n zur Unendlichkeit neigt.

Genauer gesagt, wenn für eine natürliche Zahl n die Zählfunktion a ( n ) als die Anzahl der Elemente von A definiert wird. kleiner oder gleich n dann bedeutet die natürliche Dichte von A genau α, dass ^[1]

a ( n ) / n → α als n → + ∞.

Aus der Definition folgt, dass, wenn ein Satz A eine natürliche Dichte hat α dann 0 ≤ α ≤ 1.

Obere und untere asymptotische Dichte [ edit ]

Es sei ${ displaystyle A}$ eine Teilmenge der Menge von natürliche Zahlen $. displaystyle mathbb {N} = {1,2, ldots }.}$ Für ${ displaystyle n in mathbb {N}}$ wurde ${ displaystyle A (n) = {1,2, ldots, n } cap A.}$