Das Boy oder Girl-Paradoxon umgibt eine Reihe von Fragen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die auch als The Two Child Problem [1] [1] bekannt sind. Smith's Children [2] und die Mrs. Smith Problem. Die ursprüngliche Formulierung der Frage stammt aus dem Jahr 1959, als Martin Gardner in Scientific American eine der frühesten Varianten des Paradoxons veröffentlichte. Mit dem Titel The Two Children Problem formulierte er das Paradoxon wie folgt:
- Herr. Jones hat zwei Kinder. Das ältere Kind ist ein Mädchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind?
- Mr. Smith hat zwei Kinder. Mindestens einer von ihnen ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind?
Zunächst gab Gardner die Antworten 1 / 2 und 19659007] / 3 Sie gaben jedoch zu, dass die zweite Frage mehrdeutig war. [3] Ihre Antwort könnte lauten: 1 / 2 je nachdem, welche weiteren Informationen darüber hinaus verfügbar sind Kind war ein Junge. Die Mehrdeutigkeit wurde, je nach dem genauen Wortlaut und möglichen Annahmen, von Bar-Hillel und Falk [4] und Nickerson [5]
bestätigt. Andere Varianten dieser Frage mit unterschiedlichem Zweideutigkeitsgrad wurden von Ask Marilyn in Parade Magazine [6] John Tierney von Die New York Times [7] und Leonard Mlodinow in Drunkard's Walk . [8] Es wurden identische Informationen übermittelt, jedoch mit unterschiedlichen, teilweise mehrdeutigen Formulierungen, die unterschiedliche Punkte betonen, dass der Prozentsatz der MBA-Studenten, die geantwortet haben, 1 / 2 von 85% auf 39% änderte. [2]
Das Paradoxon hat häufig zu heftigen Kontroversen geführt. [5] Viele Menschen stritten sich mit großer Zuversicht für beide Seiten aus und zeigten sich manchmal gegenüber denen, die die entgegengesetzte Ansicht vertraten, mit Verachtung. Das Paradoxon ergibt sich aus der Frage, ob der Problemaufbau für die beiden Fragen ähnlich ist. [2][8] Die intuitive Antwort lautet 1 / 2 . [2] Diese Antwort ist intuitiv, wenn die Frage dazu führt Leser glauben, dass es zwei gleichermaßen wahrscheinliche Möglichkeiten für das Geschlecht des zweiten Kindes (dh Jungen und Mädchen) gibt, [2][9] und dass die Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisse absolut und nicht bedingt ist. [10]
Häufige Annahmen edit ]
Die beiden möglichen Antworten stützen sich auf eine Reihe von Annahmen. Zunächst wird davon ausgegangen, dass der Raum aller möglichen Ereignisse leicht aufgezählt werden kann und eine umfassende Definition der Ergebnisse liefert: {BB, BG, GB, GG}. [11] Diese Notation zeigt an, dass es vier mögliche Kombinationen von Kindern gibt (Kennzeichnung) Jungen B und Mädchen G und verwenden den ersten Buchstaben, um das ältere Kind darzustellen. Zweitens wird angenommen, dass diese Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. [11] Dies impliziert folgendes Modell, einen Bernoulli-Prozess mit p = 1 / 2 :
- Jedes Kind ist entweder männlich oder weiblich.
- Jedes Kind hat die gleiche Chance, männlich zu sein als weiblich.
- Das Geschlecht jedes Kindes ist unabhängig vom Geschlecht des anderen.
Die Mathematik Das Ergebnis wäre das gleiche, wenn es in Form eines Münzwurfs ausgedrückt würde.
Erste Frage [ edit ]
- Herr. Jones hat zwei Kinder. Das ältere Kind ist ein Mädchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind?
Unter den oben genannten Annahmen wird bei diesem Problem eine zufällige Familie ausgewählt. In diesem Beispielbereich gibt es vier gleich wahrscheinliche Ereignisse:
Älteres Kind Jüngeres Kind Mädchen Mädchen Mädchen Junge JungeMädchenJungeJunge
Nur zwei dieser möglichen Ereignisse erfüllen die in der Frage angegebenen Kriterien (d. H. GG, GB). Da beide der beiden Möglichkeiten im neuen Beispielraum {GG, GB} gleich wahrscheinlich sind, und nur eine der beiden, GG, zwei Mädchen umfasst, ist die Wahrscheinlichkeit, dass das jüngere Kind auch ein Mädchen ist, 1 / 2 .
Zweite Frage [ edit
- Herr. Smith hat zwei Kinder. Mindestens einer von ihnen ist ein Junge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind?
Diese Frage ist identisch mit der ersten Frage, mit der Ausnahme, dass nicht angegeben wird, dass das ältere Kind ein Junge ist, sondern mindestens einer von ihnen ein Junge ist. Als Reaktion auf die Kritik der Leser der 1959 gestellten Frage stimmte Gardner zu, dass eine genaue Formulierung der Frage entscheidend ist, um unterschiedliche Antworten für die Fragen 1 und 2 zu erhalten. Insbesondere argumentierte Gardner, dass ein "Versäumnis, das Randomisierungsverfahren festzulegen" die Leser führen könnte um die Frage auf zwei verschiedene Arten zu interpretieren:
- Aus allen Familien mit zwei Kindern, von denen mindestens eines ein Junge ist, wird eine Familie nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Dies würde die Antwort von 1 / 3 liefern.
- . Von allen Familien mit zwei Kindern wird zufällig ein Kind ausgewählt, und das Geschlecht dieses Kindes wird als a bezeichnet Junge. Daraus würde sich eine Antwort von 1 / 2 ergeben. [4] [5]
Grinstead und Snell argumentieren diese Frage ist mehrdeutig, genau wie Gardner. [12]
Wenn Sie beispielsweise die Kinder im Garten sehen, sehen Sie vielleicht einen Jungen. Das andere Kind kann hinter einem Baum versteckt sein. In diesem Fall entspricht die Aussage der zweiten (das Kind, das Sie sehen können, ist ein Junge). Die erste Aussage stimmt nicht überein, da ein Fall ein Junge und ein Mädchen ist. Dann kann das Mädchen sichtbar sein. (Die erste Aussage besagt, dass es entweder sein kann.)
Obwohl es sicherlich wahr ist, dass jeder mögliche Herr Smith mindestens einen Jungen hat (d. H. Die Bedingung ist notwendig), ist nicht klar, dass jeder Herr Smith mit mindestens einem Jungen beabsichtigt ist. Das heißt, die Problemstellung besagt nicht, dass die Geburt eines Jungen eine hinreichende Voraussetzung dafür ist, dass Herr Smith als Junge auf diese Weise identifiziert werden kann.
Zu Gardners Version des Problems kommentieren Bar-Hillel und Falk [4] dass "Herr Smith, anders als der Leser, vermutlich das Geschlecht seiner beiden Kinder kennt, wenn er diese Aussage macht", dh das " Ich habe zwei Kinder und mindestens eines davon ist ein Junge. ' Wenn weiter angenommen wird, dass Mr. Smith diese Tatsache melden würde, wenn es wahr wäre, dann lautet die richtige Antwort 1 / 3 wie es Gardner beabsichtigt hatte.
Analyse der Mehrdeutigkeit [ edit ]
Wenn davon ausgegangen wird, dass diese Informationen erhalten wurden, indem beide Kinder untersucht wurden, um zu sehen, ob es mindestens einen Jungen gibt, ist die Bedingung sowohl notwendig als auch ausreichend. Drei der vier gleichermaßen wahrscheinlichen Ereignisse für eine Familie mit zwei Kindern im obigen Beispielraum erfüllen die in der folgenden Tabelle angegebene Bedingung:
Älteres Kind Jüngeres Kind MädchenMädchenMädchen Junge Junge Mädchen Junge Junge
Wenn angenommen wird, dass beide Kinder bei der Suche nach einem Jungen in Betracht gezogen wurden, lautet die Antwort auf Frage 2: 1 / 3 . Wenn jedoch zuerst die Familie ausgewählt wurde und dann eine zufällige, zutreffende Aussage über das Geschlecht eines Kindes in dieser Familie gemacht wurde, ob beide in Betracht kamen oder nicht, ist der korrekte Weg zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit nicht alle Fälle zu zählen, die ein Kind mit diesem Geschlecht einschließen. Stattdessen muss man nur die Wahrscheinlichkeiten berücksichtigen, bei denen die Aussage in jedem Fall gemacht wird. [12] Wenn also ALOB das Ereignis darstellt, bei dem die Aussage "mindestens ein Junge" ist, und ALOG steht für das Ereignis, bei dem die Aussage "mindestens ein Mädchen" lautet, dann beschreibt diese Tabelle den Musterbereich:
Älteres Kind Jüngeres Kind P (diese Familie) P (ALOB bei dieser Familie) P (diese Familie erhielt ALOG) P (ALOB und diese Familie) P (ALOG und diese Familie) Mädchen Mädchen 1 / 4 0 1 0 1 / 4 Mädchen Junge 1 / 4 1 / 2 1 / 2 1 / 8 1 / 8 Junge Mädchen 1 / 4 1 / 2 1 / 2 1 / 8 1 / 8 Junge Junge 1 / 4 1 0 1 / 4 0
Wenn Ihnen gesagt wird, dass mindestens einer ein Junge ist, wenn die Tatsache zufällig ausgewählt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Jungen sind
Das Paradoxon tritt auf, wenn nicht bekannt ist, wie die Anweisung aussieht "Mindestens einer ist ein Junge" wurde generiert. Jede Antwort könnte basierend auf dem, was angenommen wird, richtig sein.
Die Antwort " 1 / 3 " wird jedoch erhalten nur unter der Annahme, dass P (ALOB | BG) = P (ALOB | GB) = 1 ist, was P (ALOG | BG) = P (ALOG | GB) = 0 impliziert, das heißt, das Geschlecht des anderen Kindes wird nie erwähnt, obwohl es ist vorhanden. Wie Marks und Smith sagen: "Diese extreme Annahme wird jedoch nie in die Darstellung des Zwei-Kinder-Problems einbezogen und ist sicherlich nicht das, was die Leute denken, wenn sie sie präsentieren." [13]
Modellierung des generativen Prozesses edit ]
Eine andere Möglichkeit, die Mehrdeutigkeit (für Frage 2) zu analysieren, besteht darin, den generativen Prozess explizit darzustellen (alle Unentschieden sind unabhängig).
- Der folgende Prozess führt zur Antwort :
- Der folgende Prozess führt zur Antwort :
Bayes'sche Analyse [ edit ]
Nach klassischen Wahrscheinlichkeitsargumenten betrachten wir eine große Urne mit zwei Kindern. Wir gehen gleichermaßen davon aus, dass entweder ein Junge oder ein Mädchen ist. Die drei erkennbaren Fälle sind somit: 1. beide sind Mädchen (GG) - mit Wahrscheinlichkeit P (GG) = 1 / 4 , 2. beide sind Jungen (BB) - mit einer Wahrscheinlichkeit von P (BB) = 1 / 4 und 3. eines von jedem (G B) - mit einer Wahrscheinlichkeit von P (G B) = 1 / 2 . Dies sind die früheren Wahrscheinlichkeiten.
Nun fügen wir die zusätzliche Annahme hinzu, dass "mindestens einer ein Junge ist" = B. Mit Hilfe des Satzes von Bayes finden wir
- 3
4 ] = 1 3 . { displaystyle mathrm {P (BB mid B)} = mathrm {P (B mid BB) times { frac {P (BB)} {P (B)}}} = 1 times { frac { left ({ frac {1} {4}} right)} { left ({ frac {3 } {4}} right)}} = { frac {1} {3}} ,.}
wobei P (A | B) "Wahrscheinlichkeit von A bei B" bedeutet. P (B | BB) = Wahrscheinlichkeit von mindestens einem Jungen, wenn beide Jungen = 1 sind. P (BB) = Wahrscheinlichkeit beider Jungen = 1 / 4 aus der Vorverteilung. P (B) = Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer ein Junge ist, einschließlich der Fälle BB und G · B = 1 / 4 + 1 / 2 = 3 / 4 .
Man beachte, dass, obwohl die natürliche Annahme eine Wahrscheinlichkeit von 1 / 2 zu sein scheint, der abgeleitete Wert von 1 / 3 [19659010] scheint niedrig, der tatsächliche "normale" Wert für P (BB) ist 1 / 4 so dass der 1 3 ist eigentlich ein bisschen höher .
Das Paradoxon entsteht, weil die zweite Annahme etwas künstlich ist, und wenn man das Problem in einer realen Umgebung beschreibt, werden die Dinge etwas klebrig. Woher wissen wir, dass "zumindest" man ein Junge ist? Eine Beschreibung des Problems besagt, dass wir in ein Fenster schauen, nur ein Kind sehen und es ein Junge ist. Das klingt nach der gleichen Annahme. Dies ist jedoch äquivalent dazu, die Verteilung zu "probieren" (d. H. Ein Kind aus der Urne zu nehmen, festzustellen, dass es sich um einen Jungen handelt, und dann zu ersetzen). Nennen wir die Aussage "die Probe ist ein Junge", Vorschlag "b". Jetzt haben wir:
- 1
2 = 1 2 . { displaystyle mathrm {P (BB mid b)} = mathrm {P (b mid BB) times { frac {P (BB)} {P (b)}}} = 1 times { frac { left ({ frac {1} {4}} right)} { left ({ frac {1 } {2}} right)}} = { frac {1} {2}} ,.}
Der Unterschied hier ist das P (b), das nur die Wahrscheinlichkeit von ist einen Jungen aus allen möglichen Fällen ziehen (dh ohne t "), was eindeutig 1 / 2 ist.
Die Bayes'sche Analyse lässt sich leicht auf den Fall verallgemeinern, in dem wir die Annahme einer 50: 50-Bevölkerung lockern. Wenn wir keine Informationen über die Populationen haben, gehen wir von einem "flachen Prior" aus, dh P (GG) = P (BB) = P (G · B) = 1 / 3 . In diesem Fall erzeugt die "mindestens" Annahme das Ergebnis P (BB | B) = 1 / 2 und die Abtastannahme erzeugt P (BB | b) = . 2 / 3 ein Ergebnis, das auch von der Nachfolgeregelung abgeleitet werden kann.
Martingale-Analyse [ edit ]
Angenommen, Sie hätten gewettet, dass Mr. Smith zwei Jungen hatte, und gute Chancen erhielten. Sie zahlten 1 Dollar und Sie erhalten 4 Dollar, wenn er zwei Jungen hat. Wir betrachten Ihre Wette als eine Investition, die mit steigenden Neuigkeiten an Wert gewinnen wird. Welche Beweise würden Sie über Ihre Investition glücklicher machen? Wenn Sie lernen, dass mindestens eines von zwei Kindern ein Junge ist, oder lernen Sie, dass mindestens ein Kind von einem Jungen ein Junge ist?
Letzteres ist a priori weniger wahrscheinlich und daher bessere Nachrichten. Deshalb können die beiden Antworten nicht gleich sein.
Nun zu den Zahlen. Wenn wir auf ein Kind setzen und gewinnen, hat sich der Wert Ihrer Investition verdoppelt. Es muss erneut verdoppelt werden, um auf $ 4 zu kommen. Die Chancen stehen also 1 zu 2.
Auf der anderen Seite, wenn wir erfahren, dass mindestens eines von zwei Kindern ein Junge ist, steigt unsere Investition, als hätten wir auf diese Frage gewettet. Unser $ 1 ist jetzt $ 1 1 / 3 . Um auf 4 Dollar zu kommen, müssen wir unseren Wohlstand noch verdreifachen. Die Antwort lautet also 1 zu 3.
Varianten der Frage [ edit ]
Nach der Popularisierung des Paradoxons durch Gardner wurde es in verschiedenen Formen präsentiert und diskutiert. Die erste von Bar-Hillel & Falk [4] vorgestellte Variante lautet wie folgt:
- Herr. Smith ist der Vater von zwei Kindern. Wir treffen ihn mit einem kleinen Jungen, den er stolz als seinen Sohn vorstellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind von Smith auch ein Junge ist?
Bar-Hillel & Falk verwenden diese Variante, um die Wichtigkeit der Berücksichtigung der zugrunde liegenden Annahmen hervorzuheben. Die intuitive Antwort lautet 1 / 2 . Wenn die natürlichsten Annahmen gemacht werden, ist dies richtig. Man kann jedoch argumentieren, dass "... bevor Mr. Smith den Jungen als seinen Sohn identifiziert, wir nur wissen, dass er entweder der Vater von zwei Jungen (BB) oder von zwei Mädchen (GG) oder von einem von beiden in der Geburtsreihenfolge ist B. BG oder GB. Unter der Annahme von Unabhängigkeit und Gleichwertigkeit beginnen wir mit einer Wahrscheinlichkeit von / 4 dass Smith der Vater von zwei Jungen ist boy schließt das Ereignis GG aus: Da die verbleibenden drei Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, erhalten wir eine Wahrscheinlichkeit von / 3 für BB. " [4] [194565886] ] Die natürliche Annahme ist, dass Herr Smith den Kindergefährten zufällig ausgewählt hat. Wenn ja, da die Kombination BB die doppelte Wahrscheinlichkeit hat, dass entweder BG oder GB dazu geführt haben, dass der Junge als Begleiter gehandelt hat (und die Kombination GG null Wahrscheinlichkeit hat, sie auszuschließen), wird die Vereinigung der Ereignisse BG und GB mit dem Ereignis BB gleichwertig, und Die Chance, dass das andere Kind auch ein Junge ist, ist also 1 / 2 . Bar-Hillel & Falk schlagen jedoch ein alternatives Szenario vor. Sie stellen sich eine Kultur vor, in der Jungen immer als Laufbegleiter über Mädchen ausgewählt werden. In diesem Fall wird von den Kombinationen BB, BG und GB ausgegangen die wahrscheinlich dazu geführt haben, dass der Junge zu Fuß ging, und daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind auch ein Junge ist, 1 [19659008] / 3 .
1991 antwortete Marilyn vos Savant einem Leser, der sie bat, eine Variante des Boy oder Girl-Paradoxons zu beantworten, die Beagles enthielt. [6] 1996 veröffentlichte sie die Frage erneut in einer anderen Form. Die Fragen von 1991 und 1996 lauteten:
- Ein Ladenbesitzer sagt, dass er zwei neue Baby-Beagles hat, die er Ihnen zeigen kann, aber er weiß nicht, ob es sich um einen Mann, eine Frau oder ein Paar handelt. Du sagst ihr, dass du nur einen Mann willst, und sie ruft den Mann an, der sie badet. "Ist mindestens einer männlich?" sie fragt ihn. "Ja!" Sie informiert Sie mit einem Lächeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere Mann männlich ist?
- Sagen Sie, dass eine Frau und ein Mann (die nicht miteinander verwandt sind) jeweils zwei Kinder haben. Wir wissen, dass mindestens eines der Kinder der Frau ein Junge ist und dass das älteste Kind des Mannes ein Junge ist. Kannst du erklären, warum die Chancen, dass die Frau zwei Jungen hat, nicht gleich den Chancen sind, die der Mann zwei Jungen hat?
In Bezug auf die zweite Formulierung gab Vos Savant die klassische Antwort darauf, dass die Chance, dass die Frau zwei Jungen hat, ungefähr ist 1 / 3 während die Chancen, dass der Mann zwei Jungen hat, etwa 1 / 2 sind. Als Antwort auf die Antwort des Lesers, die ihre Analyse in Frage stellte, führte Savant eine Umfrage unter Lesern mit genau zwei Kindern durch, von denen mindestens eines ein Junge ist. Von 17.946 Antworten gaben 35,9% an, zwei Jungen zu haben [11]
Die Artikel von Vos Savant wurden von Carlton und Stansfield [11] in einem Artikel von 2005 diskutiert. Die Autoren diskutieren die mögliche Mehrdeutigkeit der Frage nicht und schließen daraus, dass ihre Antwort aus mathematischer Sicht korrekt ist, wenn man davon ausgeht, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind ein Junge oder ein Mädchen ist, gleich ist und dass das Geschlecht des zweiten Kindes unabhängig ist vom ersten. In Bezug auf ihre Umfrage sagen sie, dass es "zumindest die korrekte Behauptung von vos Savant bestätigt, dass die in der ursprünglichen Frage gestellten" Chancen ", obwohl sie ähnlich klingen, unterschiedlich sind, und dass die erste Wahrscheinlichkeit sicherlich 1 zu 3 näher ist als 1 in 2."
Carlton und Stansfield diskutieren die allgemeinen Annahmen im Boy oder Girl-Paradoxon. Sie zeigen, dass in der Realität männliche Kinder tatsächlich wahrscheinlicher sind als weibliche Kinder und dass das Geschlecht des zweiten Kindes nicht unabhängig vom Geschlecht des ersten Kindes ist. Die Autoren schlussfolgern, dass das Paradoxon, obwohl die Annahmen der Frage den Beobachtungen zuwiderlaufen, immer noch pädagogischen Wert hat, da es "eine der interessanteren Anwendungen der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellt". [11] Die tatsächlichen Wahrscheinlichkeitswerte sind dies natürlich nicht Angelegenheit; Ziel des Paradoxons ist es, eine scheinbar widersprüchliche Logik zu demonstrieren, nicht die tatsächliche Geburtenrate.
Information über das Kind [ bearbeiten ]
Nehmen wir an, uns wurde nicht nur gesagt, dass Mr. Smith zwei Kinder hat, und eines davon ist ein Junge, sondern auch, dass der Junge an einem Dienstag geboren wurde: Ändert das die vorherigen Analysen? Die Antwort hängt wiederum davon ab, wie diese Informationen präsentiert wurden - welcher Auswahlprozess dieses Wissen hervorgebracht hat.
Der Tradition des Problems folgend, nehmen wir an, dass in der Bevölkerung von zwei Kindern das Geschlecht der beiden Kinder unabhängig voneinander ist, gleichermaßen wahrscheinlich ein Junge oder ein Mädchen, und dass das Geburtsdatum jedes Kindes unabhängig ist das andere Kind Die Chance, an einem bestimmten Wochentag geboren zu werden, ist 1 / 7 .
Aus dem Satz von Bayes, dass die Wahrscheinlichkeit von zwei Jungen, da ein Junge an einem Dienstag geboren wurde, gegeben ist durch:
Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, an einem Dienstag geboren zu werden, ist ε ( ε = 1 / 7 wird gesetzt, nachdem die allgemeine Lösung gefunden wurde). Der zweite Begriff im Zähler ist einfach 1 / 4 die Wahrscheinlichkeit, zwei Jungen zu haben. Der erste Begriff im Zähler ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Junge am Dienstag geboren wurde, da die Familie zwei Jungen hat, oder 1 - (1 - ε ) 2 (Eins minus der Wahrscheinlichkeit, dass keiner der Jungen am Dienstag geboren wird). Lassen Sie uns für den Nenner zerlegen: . Jeder Term wird mit Wahrscheinlichkeit 1 / 4 gewichtet. Der erste Begriff ist bereits aus der vorherigen Bemerkung bekannt, der letzte Begriff ist 0 (es gibt keine Jungen). P (B T (BG)) und P (B T (GB)) ist ε es gibt nur einen einzigen Jungen, also hat er ε Chance, am Dienstag geboren zu werden. Daher lautet die vollständige Gleichung:
- Für dies verringert sich auf
Wenn ε jetzt auf [1965] gesetzt ist 9007] 1 / 7 wird die Wahrscheinlichkeit 13 / 27 oder ungefähr 0,48. Während ε gegen 0 geht, geht die Gesamtwahrscheinlichkeit auf 1 / 2 . Dies ist die Antwort, die erwartet wird, wenn ein Kind genommen wird (z. B. das älteste Kind) ist ein Junge) und wird daher aus dem Pool möglicher Kinder entfernt. Mit anderen Worten, da immer mehr Details über das junge Kind gegeben werden (zum Beispiel: geboren am 1. Januar), beträgt die Chance, dass das andere Kind ein Mädchen ist, die Hälfte.
Es scheint, dass ziemlich irrelevante Informationen eingeführt wurden, aber die Wahrscheinlichkeit des Geschlechts des anderen Kindes hat sich dramatisch von der vorherigen verändert (die Chance, dass das andere Kind ein Mädchen war 2 / [19659009)] 3 als nicht bekannt war, dass der Junge am Dienstag geboren wurde).
Um zu verstehen, warum dies so ist, stellen Sie sich vor, die Leserumfrage von Marilyn vos Savant hätte gefragt, an welchem Wochentag die Jungen der Familie geboren wurden. Wenn Marilyn dann den gesamten Datensatz in sieben Gruppen aufteilte - eine für jeden Tag, an dem ein Sohn geboren wurde -, würden sechs von sieben Familien mit zwei Jungen in zwei Gruppen gezählt (die Gruppe für den Tag der Geburtswoche.) 1 und die Gruppe des Tages der Geburtswoche für Jungen 2), wobei in jeder Gruppe die Wahrscheinlichkeit einer Kombination von Jungen und Jungen verdoppelt wird.
Ist es jedoch wirklich plausibel, dass die Familie mit mindestens einem an einem Dienstag geborenen Jungen durch zufällige Auswahl einer solchen Familie hervorgerufen wurde? Das folgende Szenario lässt sich viel einfacher vorstellen.
- Wir wissen, dass Mr. Smith zwei Kinder hat. Wir klopfen an seine Tür und ein Junge kommt und geht zur Tür. Wir fragen den Jungen, an welchem Tag der Woche er geboren wurde.
Nehmen wir an, dass das, was von den beiden Kindern die Tür antwortet, zufällig ist. Dann wurde das Verfahren (19459003] 1 ) nach dem Zufallsprinzip aus allen zwei Kinderfamilien ( 2 ) zufällig eines der beiden Kinder ausgewählt ( 3) ) sehen, ob es ein Junge ist, und fragt, an welchem Tag er geboren wurde. Die Chance, dass das andere Kind ein Mädchen ist, ist 1 / 2 . Dies ist ein ganz anderes Verfahren als (19459003] 1 ), indem aus allen Familien mit zwei Kindern, die an einem Dienstag geboren wurden, nach dem Zufallsprinzip eine Familie mit zwei Kindern ausgewählt wird. Die Chance, dass die Familie aus einem Jungen und einem Mädchen besteht, ist 14 / 27 etwa 0,52.
This variant of the boy and girl problem is discussed on many internet blogs and is the subject of a paper by Ruma Falk.[14] The moral of the story is that these probabilities do not just depend on the known information, but on how that information was obtained.
Psychological investigation[edit]
From the position of statistical analysis the relevant question is often ambiguous and as such there is no “correct” answer. However, this does not exhaust the boy or girl paradox for it is not necessarily the ambiguity that explains how the intuitive probability is derived. A survey such as vos Savant's suggests that the majority of people adopt an understanding of Gardner's problem that if they were consistent would lead them to the 1/3 probability answer but overwhelmingly people intuitively arrive at the 1/2 probability answer. Ambiguity notwithstanding, this makes the problem of interest to psychological researchers who seek to understand how humans estimate probability.
Fox & Levav (2004) used the problem (called the Mr. Smith problemcredited to Gardner, but not worded exactly the same as Gardner's version) to test theories of how people estimate conditional probabilities.[2] In this study, the paradox was posed to participants in two ways:
- "Mr. Smith says: 'I have two children and at least one of them is a boy.' Given this information, what is the probability that the other child is a boy?"
- "Mr. Smith says: 'I have two children and it is not the case that they are both girls.' Given this information, what is the probability that both children are boys?"
The authors argue that the first formulation gives the reader the mistaken impression that there are two possible outcomes for the "other child",[2] whereas the second formulation gives the reader the impression that there are four possible outcomes, of which one has been rejected (resulting in 1/3 being the probability of both children being boys, as there are 3 remaining possible outcomes, only one of which is that both of the children are boys). The study found that 85% of participants answered 1/2 for the first formulation, while only 39% responded that way to the second formulation. The authors argued that the reason people respond differently to each question (along with other similar problems, such as the Monty Hall Problem and the Bertrand's box paradox) is because of the use of naive heuristics that fail to properly define the number of possible outcomes.[2]
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