Einige Gelehrte haben auch vorgeschlagen, dass Madhavas Arbeit durch die Schriften der Kerala-Schule möglicherweise von Jesuiten-Missionaren und Händlern, die zu dieser Zeit im alten Hafen von Muziris aktiv waren, nach Europa übertragen wurde. Dies hatte möglicherweise Einfluss auf spätere europäische Entwicklungen in Analyse und Kalkül. [5]
Madhava wurde als Irińńaŗappiļļy oder Iriññinavaļļi Mādhava geboren. Er hatte geschrieben, dass sein Hausname mit dem Vihar verwandt war Eine Pflanze namens "Bakuļam" wurde gepflanzt. Laut Achyuta Pisharati (der einen von Madhava geschriebenen Kommentar zu Veṇvāroha schrieb) wurde Bakuļam als "iraňňi" bezeichnet. Laut K. V. Sarma ist der Hausname entweder Irińńāŗappiļļy oder Iriññininavaļļy '. [6]: 51
Irinjalakuda war früher als' Irińńāţikuţal 'bekannt. Sangamagrāmam (lit. Sangamam = Gewerkschaft, Grāmam = Dorf) ist eine grobe Übersetzung aus dem Dravidischen Sanskrit ("Irińńāţikuţal"), was "virinja aalkkuda" bedeutet. Sangamagrama kann eine Sankrit-Version des Ortsnamens Koodallur sein.
Historiographie [ edit ]
Obwohl es in Kerala einige Anhaltspunkte für mathematische Arbeit vor Madhava gibt ( Sadratnamala . 1300, eine Reihe fragmentarischer Ergebnisse [7]), geht aus Zitaten hervor, dass Madhava den kreativen Impuls für die Entwicklung einer reichen mathematischen Tradition im mittelalterlichen Kerala lieferte. Die meisten von Madhavas Originalarbeiten (außer ein paar davon) gehen jedoch verloren. Er wird in der Arbeit nachfolgender Kerala-Mathematiker, insbesondere in Nilakantha Somayajis Tantrasangraha (ca. 1500), als Quelle für mehrere unendliche Serienerweiterungen, darunter sin θ und arctan [] genannt. θ . Der Text aus dem 16. Jahrhundert Mahajyānayana prakāra (Methode zur Berechnung großer Sines) nennt Madhava als Quelle für mehrere Serienableitungen für π. In Jyeṣṭhadevas Yuktibhāṣā (ca. 1530), [8] geschrieben in Malayalam, werden diese Serien mit Beweisen in Bezug auf die Taylor-Reihenerweiterungen für Polynome wie 1 / (1+ x präsentiert. 2 ), mit x = tan θ usw.
Was also ausdrücklich Madhavas Arbeit ist, ist eine Quelle einiger Debatten. Der Yukti-dipika (auch Tantrasangraha-vyakhya genannt), möglicherweise von Sankara Variyar, einem Schüler von Jyeṣṭhadeva, komponiert, präsentiert mehrere Versionen der Serienerweiterungen für die Sünde θ . cos θ und arctan θ sowie einige Produkte mit Radius und Bogenlänge, von denen die meisten Versionen in Yuktibhāṣā erscheinen. Für diejenigen, die dies nicht tun, haben Rajagopal und Rangachari argumentiert, indem sie ausführlich aus dem ursprünglichen Sanskrit [1] zitiert haben, da einige von ihnen von Nilakantha Madhava zugeschrieben worden sind, könnten einige der anderen Formen auch die Arbeit von Madhava sein.
Andere haben spekuliert, dass der frühe Text Karanapaddhati (ca. 1375–1475) oder der Mahajyānayana Prakāra von Madhava geschrieben worden sein könnte, aber dies ist unwahrscheinlich. [3]
Karanapaddhati zusammen mit dem noch früheren mathematischen Keralese-Text Sadratnamala sowie der Tantrasangra und . wurde in einem Artikel von Charles Matthew Whish (1834) in Betracht gezogen, der als erster auf ihre Priorität gegenüber Newton bei der Entdeckung des Fluxions (Newtons Name für Differentiale) aufmerksam machte. [7] In der Mitte des 20. Jahrhunderts wurde der russische Gelehrte Jushkevich hat das Erbe von Madhava [9] erneut aufgegriffen, und Sarma erhielt 1972 einen umfassenden Einblick in die Kerala-Schule. [6]
Lineage [ edit
Es gibt mehrere bekannte Astronomen, die es tun Vor Madhava, einschließlich Kǖţalur Kizhār (2. Jh ury), [10] Vararuci (4. Jahrhundert) und Sankaranarayana (866 n. Chr.). Möglicherweise sind ihm andere unbekannte Personen vorausgegangen. Wir haben jedoch eine klarere Aufzeichnung der Tradition nach Madhava. Parameshvara war ein direkter Schüler. Laut einem Manuskript eines Malayalam-Kommentars über Surya Siddhanta hatte der Sohn von Parameswara Damodara (ca. 1400–1500) beide Nilakantha Somayaji als seine Schüler. Jyeshtadevan war der Schüler von Nilakanda. Achyuta Pisharati von Trikkantiyur wird als Schüler von Jyeṣṭhadeva und der Grammatiker Melpathur Narayana Bhattathiri als sein Schüler erwähnt. [8]
Contributions edit
Wenn wir die Mathematik als Fortschrittsprozedur von Algebra betrachten Nach den Überlegungen des Unendlichen sind die ersten Schritte zu diesem Übergang typischerweise mit unendlichen Reihenerweiterungen verbunden. Es ist dieser Übergang zur unendlichen Reihe, der Madhava zugeschrieben wird. In Europa wurde die erste derartige Serie 1667 von James Gregory entwickelt. Madhavas Werk ist bemerkenswert für die Serie, aber wirklich bemerkenswert ist seine Schätzung eines Fehlerausdrucks (oder eines Korrekturausdrucks). [11] Dies impliziert, dass die Begrenzung der Natur ist von der unendlichen Serie wurde von ihm recht gut verstanden. So mag Madhava die Ideen erfunden haben, die den unendlichen Reihenerweiterungen von Funktionen, Potenzreihen, trigonometrischen Reihen und rationalen Annäherungen von unendlichen Reihen zugrunde liegen. [12]
Die oben genannten Ergebnisse sind jedoch genau Madhavas und die seiner Nachfolger sind etwas schwer zu bestimmen. Das Folgende stellt eine Zusammenfassung der Ergebnisse vor, die Madhava von verschiedenen Gelehrten zugeschrieben wurde.
Infinite series [ edit
Unter seinen vielen Beiträgen entdeckte er die unendliche Serie für die trigonometrischen Funktionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Arkustangens sowie viele Methoden zur Berechnung des Umfangs eines Kreises. Eine von Madhavas Serien ist aus dem Text Yuktibhāṣā bekannt, der die Ableitung und den Nachweis der von Madhava entdeckten Potenzreihe für inversen Tangens enthält. [13] In dem Text beschreibt Jyeṣṭhadeva die Serie auf folgende Weise :
| “ | Der erste Term ist das Produkt aus gegebenem Sinus und Radius des gewünschten Bogens geteilt durch den Cosinus des Bogens. Die nachfolgenden Terme werden durch einen Iterationsvorgang erhalten, wenn der erste Term wiederholt mit dem Sinusquadrat multipliziert und durch das Cosinusquadrat geteilt wird. Alle Terme werden dann durch die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, ... geteilt. Der Bogen wird durch Addition bzw. Subtraktion der Terme des ungeraden Ranges und des geraden Ranges erhalten. Es ist festgelegt, dass der Sinus des Bogens oder derjenige seines Komplements, je nachdem, welcher kleiner ist, hier als der gegebene Sinus genommen werden sollte. Andernfalls tendieren die durch diese obige Iteration erhaltenen Ausdrücke nicht zum Verschwinden. [14] | ” |
Dies ergibt:
oder gleichwertig:
Trigonometrie [ ]
. Madhava komponierte eine genaue Sinustabelle. Er markiert einen Viertelkreis in vierundzwanzig gleichen Abständen und gibt die Länge des Halbakkords (Sinus) an, die jedem von ihnen entspricht. Es wird angenommen, dass er diese Werte basierend auf den Reihenexpansionen berechnet haben kann: [4]
- sin q = q - q 3 / 3! + q 5 / 5! - q 7 / 7! + ...
- cos q = 1 - q 2 / 2! + q 4 / 4! - q 6 / 6! + ...
Der Wert von π (pi) edit ]
Madhavas Arbeit über den Wert der mathematischen Konstante Pi wird in der Mahajyānayana prakāra zitiert ] ("Methods for the big sines"). [ Zitat erforderlich ] . Während einige Gelehrte wie Sarma [8] glauben, dass dieses Buch möglicherweise von Madhava selbst verfasst wurde, ist es doch wahrscheinlicher das Werk eines Nachfolgers aus dem 16. Jahrhundert. [4] Dieser Text führt die meisten Erweiterungen Madhavas zu und gibt die folgende unendliche Serienerweiterung von π, jetzt bekannt als Madhava-Leibniz-Reihe: [16][17]
das er von der Erweiterung der Potenzreihe erhielt der Arcustangens-Funktion. Das Beeindruckendste ist jedoch, dass er auch einen Korrekturterm R n für den Fehler nach Berechnung der Summe bis n angegeben hat. Madhava gab drei Ausdrücke für einen Korrekturterm R n [4] die an die Summe von n angehängt werden sollten, nämlich
- R n = (-1) n / (4 n ) oder
- R n = (–1) n ⋅ n / (4 n 2 + 1) oder
- R n = (−1) n [( n 2 + 1) / (4 n 3 + 5 n ).
wo die dritte Korrektur zu sehr genauen Berechnungen von π führt.
Es wurde lange spekuliert, wie Madhava diese Korrekturausdrücke gefunden haben könnte. [18] Sie sind die ersten drei Konvergenten einer endlichen fortgesetzten Fraktion, die in Kombination mit der ursprünglichen Serie von Madhava nach n bewertet wurden , ergibt etwa 3 n / 2 richtige Ziffern:
-
n
1 2 n - 1 + ( - 1 ] 4 n + 1 2 n + 2 2 4 n [19659484] ] 3 2 n + 4 2 . . + [19659655]. + n 2 4 [19659599] [19659599] [19659599] [19659499] ( n mod 2 ) ] { displaystyle { frac { pi} {4}} ungefähr 1 - { frac {1} {3 }} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {7}} + cdots + { frac { left (-1 right) ^ {n-1}} {2n-1}} + { frac { left (-1 right) ^ {n}} {4n + { frac {1 ^ {2}} {n + { frac {2 ^ {2}} {4n + { frac {3 ^ {2}} {n + { frac {4 ^ { 2}} {... + { frac {...} {... + { frac {n ^ {2}} {n left [4-3left(n{bmod {2}}right)right]}}}}}}}}}}}} }}}
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Der Betrag des Korrekturterms in nächsthöherer Ordnung ist
- | R n | = (4 n 3 + 13 n ) / (16 n 4 + 56 n 2 ] + 9).
Er erzeugte auch eine schneller konvergierende Reihe, indem er die ursprüngliche unendliche Reihe von π transformierte und so die unendliche Reihe erhielt
Durch Verwendung der ersten 21 Terme zur Berechnung einer Approximation von π erhält er einen auf 11 Dezimalstellen korrekten Wert (3.14159265359). [19] Der Wert von 3.1415926535898, korrekt auf 13 Dezimalstellen, wird manchmal Madhava [20] zugeschrieben, kann jedoch auf einen seiner Anhänger zurückzuführen sein. Dies waren die genauesten Näherungen von π seit dem 5. Jahrhundert (siehe Geschichte der numerischen Näherungen von π).
Der Text Sadratnamala der normalerweise als vor Madhava betrachtet wird, scheint den erstaunlich genauen Wert von π = 3,14159265358979324 (korrekt auf 17 Dezimalstellen) zu ergeben. Darauf basierend argumentiert R. Gupta, dass dieser Text möglicherweise auch von Madhava verfasst wurde. [3][19]
Algebra [ edit
]
Madhava führte auch Untersuchungen zu anderen Serien für Bogenlängen und den damit verbundenen Annäherungen an rationale Bruchteile von π durch, fand Methoden der Polynomausdehnung, entdeckte Tests der Konvergenz unendlicher Serien und die Analyse unendlich fortlaufender Fraktionen. [19659332ErentdeckteauchdieLösungentranszendenterGleichungendurchIterationundfanddieAnnäherungdertranszendentalenZahlendurchfortlaufendeBrüche[3]
Calculus [ edit
Madhava legte den Grundstein für die Entwicklung von Kalkül, das von seinen Nachfolgern an der Kerala-Schule für Astronomie und Mathematik weiterentwickelt wurde. [12][21] (Es sollte darauf hingewiesen werden, dass einige Vorstellungen von Kalkül früheren Mathematikern bekannt waren.) Madhava erweiterte auch etwas in früheren Arbeiten gefundene Szenen, einschließlich der von Bhāskara II. Es ist jedoch ungewiss, ob eine dieser Ideen in den Westen übertragen wurde. Der Kalkül wurde von Isaac Newton und Leibniz (unabhängig voneinander!) Völlig unabhängig entdeckt. [ nach wem?
Madhavas Arbeiten ]]
KV Sarma hat Madhava als Autor der folgenden Werke identifiziert: [22][23]
- Golavada
- Madhyamanayanaprakara
- Mahajyanayanaprakara (Methode zur Berechnung der großen Sines)
- Lagnaprakarana (लग्नपनपनपरकरणरकरणरकरण) (्वारोहरोहरोहवेण 1945वेण ((रोह. Table Table Tableakनि Tableनि Table Tableनिनिनिनिनिनिनिनिrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr [स्फुटचन्r्रा45्ति)
- Aganita-grahacara (अगणित-ग्रहचा्ति) Moon-mnemonics)
Kerala-Schule für Astronomie und Mathematik [ edit ]
Die Kerala-Schule für Astronomie und Mathematik blühte mindestens zwei Jahrhunderte über Madhava hinaus. In Jyeṣṭhadeva finden wir den Begriff der Integration, sankalitam (lit. collection) genannt, wie in der Aussage:
- ekadyekothara pada sankalitam samam padavargathinte pakuti [15]
was als Integration eine Variable ( pada ) bedeutet variables Quadrat ( varga ); Das Integral von x dx ist gleich x 2 / 2. Dies ist eindeutig ein Anfang des Prozesses der Integralrechnung. Ein verwandtes Ergebnis gibt an, dass die Fläche unter einer Kurve das Integral ist. Die meisten dieser Ergebnisse liegen vor mehreren Jahrhunderten vor ähnlichen Ergebnissen in Europa. In vielerlei Hinsicht Jyeshthadevas Yuktibhāṣā kann als der erste Kalkülstext der Welt betrachtet werden. [7] [1945914] [6] hat viele andere Arbeiten in der Astronomie gemacht; In der Tat sind viel mehr Seiten für astronomische Berechnungen entwickelt worden als für die Erörterung analysebezogener Ergebnisse. [8]
Die Kerala-Schule trug auch viel zur Linguistik bei (die Beziehung zwischen Sprache und Mathematik ist eine alte indische Tradition, siehe Katyayana). Die ayurvedischen und poetischen Traditionen von Kerala lassen sich auch auf diese Schule zurückführen. Das berühmte Gedicht Narayaneeyam wurde von Narayana Bhattathiri komponiert.
Einfluss [ edit ]
Madhava wurde als "der größte Mathematiker-Astronom des mittelalterlichen Indiens", [3] oder als bezeichnet "der Begründer der mathematischen Analyse; einige seiner Entdeckungen auf diesem Gebiet zeigen, dass er eine außergewöhnliche Intuition besessen hat." [25] O'Connor und Robertson geben an, dass Madhava eine faire Einschätzung hat er machte den entscheidenden Schritt in Richtung der modernen klassischen Analyse. [4]
Mögliche Ausbreitung nach Europa [ edit ]
Die Kerala-Schule war im 15. und 16. Jahrhundert, in der Zeit des erster Kontakt mit europäischen Seefahrern an der Malabar-Küste. Zu dieser Zeit war der Hafen von Muziris in der Nähe von Sangamagrama ein bedeutendes Zentrum für den Seehandel. In dieser Region waren zahlreiche Jesuitenmissionare und Händler aktiv. In Anbetracht des Ruhmes der Kerala-Schule und des Interesses einiger Jesuitengruppen in dieser Zeit an örtlichen Gelehrten haben einige Gelehrte, darunter G. Joseph von den U. Manchester, [26] vorgeschlagen, die Schriften der Kerala-Schule könnten wurden auch um diese Zeit, etwa ein Jahrhundert vor Newton, nach Europa übertragen. [5]
Siehe auch [ edit ]
Externe Links [ edit ]
- Biografie auf MacTutor: [1]
- Eine kurze Biographie von Madhava: [2]
Referenzen [ edit
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