In der Mathematik ist der Satz von Poincaré-Bendixson eine Aussage über das Langzeitverhalten von Bahnen kontinuierlicher dynamischer Systeme auf der Ebene, dem Zylinder oder der Zwei-Kugel. Theorem edit ] Wenn ein differenzierbares reelles dynamisches System definiert ist, das auf einer offenen Teilmenge des Flugzeugs definiert ist, dann begrenzt jedes nicht leere Kompaktband ω einen Orbit, der nur einen Orbit enthält endlich viele feste Punkte, entweder [2] Außerdem gibt es höchstens einen Orbit, der verschiedene feste Punkte in dieselbe Richtung verbindet. Es könnten jedoch zählbar viele homoklinische Umlaufbahnen sein, die einen festen Punkt verbinden. Eine schwächere Version des Satzes wurde ursprünglich von Henri Poincaré konzipiert, obwohl ihm kein vollständiger Beweis fehlte, der später von Ivar Bendixson (1901) gegeben wurde. Die Bedingung, dass das dynamische System auf der Ebene ist, ist für den Satz notwendig. Auf einem Torus ist es beispielsweise möglich, einen wiederkehrenden, nicht periodischen Orbit zu haben. [3] Insbesondere kann chaotisches Verhalten nur in kontinuierlichen dynamischen Systemen auftreten, deren Phasenraum drei oder mehr Dimensionen aufweist. Der Satz gilt jedoch nicht für diskrete dynamische Systeme, bei denen chaotisches Verhalten in zwei- oder sogar eindimensionalen Systemen auftreten kann. Eine wichtige Implikation ist, dass ein zweidimensionales kontinuierliches dynamisches System keinen seltsamen Attraktor hervorrufen kann. Wenn ein seltsamer Attraktor C in einem solchen System existierte, könnte er in eine geschlossene und begrenzte Teilmenge des Phasenraums eingeschlossen werden. Wenn Sie diese Teilmenge klein genug machen, können Sie nahegelegene stationäre Punkte ausschließen. Aber dann sagt der Satz von Poincaré-Bendixson, dass C überhaupt kein seltsamer Attraktor ist - er ist entweder ein Grenzzyklus oder er konvergiert zu einem Grenzzyklus. Diskussion [ edit ]
Anwendungen [ edit ]
Literaturhinweise [ edit ]
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