In den Grundlagen der Mathematik, Morse-Kelley-Satztheorie ( MK ), Kelley-Morse-Satztheorie ( KM ) Morse-Tarski-Satztheorie ( MT ), Quine-Morse-Satztheorie ( QM ) oder das -System von Quine und Morse ist eine axiomatische Mengenlehre erster Ordnung, die eng mit der von Neumann-Bernays-Gödel-Satztheorie (NBG) verwandt ist. Während die von Neumann-Bernays-Gödel-Satztheorie die gebundenen Variablen in der im Axiomschema des Klassenverständnisses erscheinenden schematischen Formel auf einen reinen Mengenbereich beschränkt, erlaubt die Morse-Kelley-Satztheorie, dass diese gebundenen Variablen sowohl über geeignete Klassen als auch über Mengen reichen. als erster von Quine 1940 für sein System ML vorgeschlagen.
Die Morse-Kelley-Satztheorie ist nach den Mathematikern John L. Kelley und Anthony Morse benannt und wurde zuerst von Wang (1949) und später in einem Anhang zu Kelleys Lehrbuch General Topology (1955) a aufgestellt Einführung in die Topologie. Kelley sagte, dass das System in seinem Buch eine Variante der Systeme von Thoralf Skolem und Morse war. Morse's eigene Version erschien später in seinem Buch A Theory of Sets (1965).
Während die von Neumann-Bernays-Gödel-Satztheorie eine konservative Erweiterung der Zermelo-Fraenkel-Satztheorie (ZFC, kanonische Satztheorie) ist, in dem Sinne, dass eine Aussage in der Sprache des ZFC in NBG genau dann nachweisbar ist, wenn dies der Fall ist ist im ZFC nachweisbar, die Morse-Kelley-Satztheorie ist eine geeignete Erweiterung des ZFC. Anders als bei der von Neumann-Bernays-Gödel-Satztheorie, bei der das Axiomschema des Klassenverständnisses durch endlich viele seiner Instanzen ersetzt werden kann, kann die Morse-Kelley-Satztheorie nicht endlich axiomatisiert werden.
MK-Axiome und Ontologie [ edit ]
NBG und MK haben eine gemeinsame Ontologie. Das Universum des Diskurses besteht aus Klassen. Klassen, die Mitglieder anderer Klassen sind, werden Sets genannt. Eine Klasse, die keine Menge ist, ist eine richtige Klasse. Die primitiven Atomsätze beinhalten Mitgliedschaft oder Gleichheit.
Mit Ausnahme des Klassenverständnisses sind die folgenden Axiome die gleichen wie für NBG, unwesentliche Details beiseite. Die symbolischen Versionen der Axiome verwenden die folgenden Schreibweisen:
- Die in Extensionality, Class Comprehension und Foundation erscheinenden Großbuchstaben außer M bezeichnen Variablen, die sich auf Klassen beziehen. Ein Kleinbuchstabe bezeichnet eine Variable, die keine richtige Klasse sein kann, da sie links von ∈ erscheint. Da MK eine einsortierte Theorie ist, ist diese Notationskonvention nur mnemonisch.
- Das monadische Prädikat mit der beabsichtigten Lesart "Die Klasse x ist eine Menge", abgekürzt wird definiert durch
![{ displaystyle existiert W (x in W).] [19659235] </li> <li> Das leere Set <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663e67484854be81b1ffce160a4e8820c50eaa3d)
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