In der Spieltheorie und in der Wirtschaftstheorie ist ein Nullsummenspiel eine mathematische Darstellung einer Situation, in der der Gewinn oder der Verlust eines Nutzens eines jeden Teilnehmers genau durch die Verluste oder Gewinne des Nutzens des Computers ausgeglichen wird andere Teilnehmer. Wenn die Gesamtgewinne der Teilnehmer addiert werden und die Gesamtverluste abgezogen werden, summieren sie sich zu Null. Das Schneiden eines Kuchens, bei dem ein größeres Stück genommen wird, reduziert die Menge an Kuchen, die für andere verfügbar ist. Dies ist ein Nullsummenspiel, wenn alle Teilnehmer jede Einheit des Kuchens gleichwertig bewerten (siehe Randnutzen).
Im Gegensatz dazu beschreibt Nicht-Nullsumme eine Situation, in der die aggregierten Gewinne und Verluste der interagierenden Parteien kleiner oder größer als Null sein können. Ein Zero-Summen-Spiel wird auch als bezeichnet, bei dem es sich um ein absolut konkurrenzfähiges Spiel (19459007) handelt, während Nicht-Zero-Summen-Spiele entweder konkurrenzfähig oder nicht konkurrenzfähig sein können. Nullsummen-Spiele werden meistens mit dem Minimax-Theorem gelöst, der eng mit der linearen Programmierung der Dualität [1] oder mit dem Nash-Gleichgewicht zusammenhängt.
Definition [ edit ]
| Wahlmöglichkeit 1 | Wahlmöglichkeit 2 | |
| Wahlmöglichkeit 1 | -A, A | B, -B |
| Wahlmöglichkeit 2 | C, -C | -D, D |
| Generisches Nullsummenspiel | ||
Die Nullsummen-Eigenschaft (wenn einer gewinnt, ein anderer verliert) bedeutet, dass jedes Ergebnis einer Nullsummensituation Pareto-optimal ist. Im Allgemeinen wird jedes Spiel, bei dem alle Strategien Pareto-optimal sind, als Konfliktspiel bezeichnet. [2]
Null-Summen-Spiele sind ein spezifisches Beispiel für Spiele mit konstanter Summe, bei denen die Summe jedes Ergebnisses immer Null ist. Solche Spiele sind distributiv, nicht integrativ. Der Kuchen kann nicht durch gute Verhandlungen vergrößert werden.
Situationen, in denen alle Teilnehmer gemeinsam gewinnen oder leiden können, werden als Nicht-Nullsumme bezeichnet. So befindet sich ein Land mit einem Überschuss an Bananen, der mit einem anderen Land im Überschuss an Äpfeln gehandelt wird und in dem beide von der Transaktion profitieren, in einer Situation ohne Nullsumme. Bei anderen Nicht-Nullsummenspielen handelt es sich um Spiele, bei denen die Summe der Gewinne und Verluste der Spieler manchmal mehr oder weniger ist als die, mit der sie begonnen haben.
Die Idee einer optimalen Pareto-Auszahlung in einem Nullsummenspiel führt zu einem verallgemeinerten relativ egoistischen Rationalitätsstandard, dem Bestrafungsstandard des Gegners, bei dem beide Spieler immer versuchen, die Auszahlung des Gegners zu günstigen Kosten zu minimieren mehr als weniger bevorzugen. Die Bestrafung des Gegners kann sowohl bei Nullsummenspielen (z. B. Kriegsspiel, Schach) als auch bei Nichtnullsummenspielen (z. B. Pooling-Auswahlspiele) verwendet werden. [3]
Solution [ edit [Bearbeiten]]
Bei endlichen Zero-Summen-Spielen für zwei Spieler ergeben die unterschiedlichen spieltheoretischen Lösungskonzepte von Nash Equilibrium, Minimax und Maximin die gleiche Lösung. Wenn die Spieler eine gemischte Strategie spielen dürfen, hat das Spiel immer ein Gleichgewicht.
Beispiel [ edit ]
Blue A | A | B | C | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | -30 30 | 10 -10 | -20 20 [19659037] 2 | 10 -10 | -20 20 | 20 -20 ] Die Auszahlungsmatrix eines Spiels ist eine bequeme Darstellung. Betrachten Sie zum Beispiel das Zero-Summen-Spiel für zwei Spieler rechts oder oben. Die Reihenfolge des Spiels ist wie folgt: Der erste Spieler (rot) wählt im Geheimen eine der beiden Aktionen 1 oder 2; Der zweite Spieler (blau), der die Wahl des ersten Spielers nicht kennt, wählt im Geheimen eine der drei Aktionen A, B oder C. Dann werden die Auswahlmöglichkeiten angezeigt und die Gesamtpunktzahl jedes Spielers wird entsprechend der Auszahlung dieser Entscheidungen beeinflusst. Beispiel: Rot wählt Aktion 2 und Blau wählt Aktion B. Wenn die Auszahlung zugewiesen wird, erhält Rot 20 Punkte und Blau verliert 20 Punkte. In diesem Beispielspiel kennen beide Spieler die Auszahlungsmatrix und versuchen, die Anzahl ihrer Punkte zu maximieren. Red könnte wie folgt argumentieren: "Mit Aktion 2 konnte ich bis zu 20 Punkte verlieren und nur 20 gewinnen, und mit Aktion 1 kann ich nur 10 verlieren, aber bis zu 30, also sieht Aktion 1 viel besser aus." Aus ähnlichen Gründen würde Blau Aktion C wählen. Wenn beide Spieler diese Aktionen ausführen, gewinnt Rot 20 Punkte. Wenn Blue die Argumentation von Red und die Wahl der Aktion 1 antizipiert, kann Blue die Aktion B wählen, um 10 Punkte zu gewinnen. Wenn Rot wiederum diesen Trick vorwegnimmt und sich für Aktion 2 entscheidet, erhält Rot 20 Punkte. Émile Borel und John von Neumann hatten die grundlegende Einsicht, dass die Wahrscheinlichkeit einen Ausweg aus diesem Rätsel bietet. Anstatt sich für eine bestimmte Aktion zu entscheiden, weisen die beiden Spieler ihren jeweiligen Aktionen Wahrscheinlichkeiten zu und verwenden dann ein Zufallsgerät, das entsprechend diesen Wahrscheinlichkeiten eine Aktion für sie auswählt. Jeder Spieler berechnet die Wahrscheinlichkeiten, um den maximal erwarteten Punktverlust unabhängig von der Strategie des Gegners zu minimieren. Dies führt zu einem linearen Programmierproblem mit den optimalen Strategien für jeden Spieler. Diese Minimax-Methode kann wahrscheinlich optimale Strategien für alle Nullsummenspiele für zwei Spieler berechnen. Für das oben gegebene Beispiel stellt sich heraus, dass Rot Aktion 1 mit Wahrscheinlichkeit 4/7 und Aktion 2 mit Wahrscheinlichkeit 3/7 wählen sollte, und Blau sollte die Wahrscheinlichkeiten 0, 4/7 und 3/7 zuweisen Drei Aktionen A, B und C. Rot gewinnt dann durchschnittlich 20/7 Punkte pro Spiel. Lösen [ edit ]Das Nash-Gleichgewicht für ein Zwei-Spieler-Nullsummenspiel kann durch Lösen eines linearen Programmierproblems gefunden werden. Angenommen, ein Nullsummenspiel hat eine Auszahlungsmatrix M wobei element ist die Auszahlung, die erzielt wird, wenn der minimierende Spieler die reine Strategie i und der maximierende Spieler die reine Strategie j wählt (dh der Spieler, der versucht, den Wert zu minimieren Die Auszahlung wählt die Reihe und der Spieler, der versucht, die Auszahlung zu maximieren, wählt die Spalte. Angenommen, jedes Element von M ist positiv. Das Spiel wird mindestens ein Nash-Gleichgewicht haben. Das Nash-Gleichgewicht kann gefunden werden (siehe Lit. [2]Seite 740), indem das folgende lineare Programm gelöst wird, um einen Vektor zu finden u :
Die erste Einschränkung besagt, dass jedes Element des u -Vektors nicht negativ sein muss, und die zweite Einschränkung sagt, dass jedes Element des -Mu -Vektors mindestens 1 sein muss. Für den resultierenden u -Vektor ist das Inverse der Summe seiner Elemente der Wert des Spiels. Multiplizieren von u mit diesem Wert ergibt einen Wahrscheinlichkeitsvektor, der die Wahrscheinlichkeit angibt, dass der maximierende Spieler jede der möglichen reinen Strategien wählt. Wenn die Spielematrix nicht alle positiven Elemente enthält, fügen Sie einfach jedem Element eine Konstante hinzu, die groß genug ist, um sie alle positiv zu machen. Dies erhöht den Wert des Spiels um diese Konstante und hat keine Auswirkung auf die gemischten Gleichgewichtsstrategien für das Gleichgewicht. Die gemischte Gleichgewichtsstrategie für den minimierenden Spieler kann durch Lösen des Dualen des angegebenen linearen Programms gefunden werden. Oder es kann gefunden werden, indem das obige Verfahren verwendet wird, um eine modifizierte Auszahlungsmatrix zu lösen, die die Transponierung und Negation von M ist (eine Konstante hinzufügen, die positiv ist), und dann das resultierende Spiel lösen. Wenn alle Lösungen für das lineare Programm gefunden werden, bilden sie alle Nash-Gleichgewichte für das Spiel. Umgekehrt kann jedes lineare Programm in ein Zwei-Spieler-Nullsummenspiel umgewandelt werden, indem eine Änderung der Variablen verwendet wird, die es in die Form der obigen Gleichungen bringt. Solche Spiele sind also im Allgemeinen äquivalent zu linearen Programmen. [ Zitat benötigt ] Universelle Lösung [ edit ]. Summenspiel ist eine Aktionswahl mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit für Spieler. Das Vermeiden ist immer eine Gleichgewichtsstrategie für mindestens einen Spieler in einem Nullsummenspiel. Bei einem Nullsummenspiel mit zwei Spielern, bei dem ein Null-Null-Unentschieden nach Spielbeginn unmöglich oder nicht glaubwürdig ist, wie bei Poker, gibt es keine Nash-Gleichgewichtsstrategie, außer das Spiel zu vermeiden. Selbst wenn es nach dem Start eines Nullsummenspiels ein glaubwürdiges Null-Null-Unentschieden gibt, ist es nicht besser als die Vermeidungsstrategie. In diesem Sinne ist es interessant, eine Belohnung so zu finden, wie Sie gehen, wenn die optimale Wahlberechnung den Nullsummenspielen aller zwei Spieler in Bezug auf das Starten des Spiels vorsieht oder nicht. [4] Nicht-Nullsumme [19659005] [ edit ]Psychologie [ edit ]Das häufigste oder einfachste Beispiel aus dem Untergebiet der Sozialpsychologie ist das Konzept "sozialer Fallen". . In einigen Fällen kann die Verfolgung unserer persönlichen Interessen unser kollektives Wohlbefinden steigern, in anderen führt dies jedoch zu gegenseitig destruktivem Verhalten. Komplexität [ edit ]In seinem Buch Nonzero: The Logic of Human Destiny wurde von Robert Wright theoretisiert, dass die Gesellschaft zunehmend nicht-null wird -summe, da es komplexer, spezialisierter und voneinander abhängig wird. Erweiterungen [ edit ]John von Neumann und Oskar Morgenstern haben 1944 bewiesen, dass ein Nicht-Nullsummenspiel für n n einem A entspricht Nullsummenspiel mit n + 1 Spieler; der ( n + 1) te Spieler, der den weltweiten Gewinn oder Verlust darstellt. [5] Missverständnisse [ edit ]Nullsummenspiele und insbesondere ihre Lösungen sind üblich missverstanden von Kritikern der Spieltheorie, in der Regel im Hinblick auf die Unabhängigkeit und Rationalität der Spieler sowie auf die Interpretation der Nutzfunktionen. Außerdem bedeutet das Wort "Spiel" nicht, dass das Modell nur für Freizeitspiele gilt. [1] Politik wird manchmal als Nullsumme bezeichnet. [6][7][8] Nullsummendenken [ edit ]In der Psychologie bezieht sich Nullsummendenken auf die Wahrnehmung, dass eine Situation wie ein Nullsummenspiel ist, bei dem der Gewinn einer Person den Verlust einer anderen Person darstellt. Siehe auch [ edit ]Literaturhinweise [ bearbeiten ]Weitere Informationen [] [].
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