In der Mathematik ist ein Ausdruck oder ein mathematischer Ausdruck eine endliche Kombination von Symbolen, die gemäß den kontextabhängigen Regeln wohlgeformt ist. Mathematische Symbole können Zahlen (Konstanten), Variablen, Operationen, Funktionen, Klammern, Satzzeichen und Gruppierungen angeben, um die Reihenfolge der Operationen und andere Aspekte der logischen Syntax zu bestimmen.
Beispiele [ edit ]
Die Verwendung von Ausdrücken reicht von der einfachen:
- quadratisches Polynom)
![7 {{x} ^ {2}} + 4x-10 [19659016] (<a href=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8656eadeb517484c56569eab3ad2a3bad8cb6383)
quadratisches Polynom) - ([19459045)] rationale Fraktion)
zum Komplex:
Syntax versus Semantik edit ]
Syntax [ edit
Ein Ausdruck ist eine syntaktische konstruieren, muss es wohlgeformt sein: Die zulässigen Operatoren müssen die korrekte Anzahl von Eingaben an den richtigen Stellen haben, die Zeichen, aus denen diese Eingaben bestehen, müssen gültig sein, eine eindeutige Reihenfolge der Operationen haben usw. Zeichenfolgen, die gegen die Zeichenfolge verstoßen Syntaxregeln sind nicht wohlgeformt und keine gültigen mathematischen Ausdrücke.
Zum Beispiel ist der Ausdruck 1 + 2 × 3 in der üblichen Schreibweise der Arithmetik wohlgeformt, der folgende Ausdruck jedoch nicht:
- .
Semantik [ edit ]
Semantik ist das Studium der Bedeutung. Bei der formalen Semantik geht es darum, Ausdrücken Bedeutung zu verleihen.
In der Algebra kann ein Ausdruck verwendet werden, um einen Wert festzulegen, der von Werten abhängen kann, die Variablen zugewiesen werden, die im Ausdruck vorkommen. Die Bestimmung dieses Wertes hängt von der Semantik der Symbole des Ausdrucks ab. Die Wahl der Semantik hängt vom Kontext des Ausdrucks ab. Derselbe syntaktische Ausdruck 1 + 2 × 3 kann unterschiedliche Werte haben (mathematisch 7, aber auch 9), abhängig von der Reihenfolge der durch den Kontext implizierten Operationen (siehe Reihenfolge der Operationen: Rechner).
Die semantischen Regeln können erklären, dass bestimmte Ausdrücke keinen Wert bezeichnen (zum Beispiel, wenn sie eine Division durch 0 beinhalten); Es wird gesagt, dass solche Ausdrücke einen undefinierten Wert haben, aber sie sind dennoch gut geformte Ausdrücke. Im Allgemeinen ist die Bedeutung von Ausdrücken nicht auf die Bezeichnung von Werten beschränkt. Ein Ausdruck kann beispielsweise eine Bedingung oder eine zu bezeichnende Gleichung bezeichnen oder als eigenständiges Objekt betrachtet werden, das nach bestimmten Regeln manipuliert werden kann. Bestimmte Ausdrücke, die einen Wert bezeichnen, drücken gleichzeitig eine Bedingung aus, von der angenommen wird, dass sie erfüllt ist, z. B. diejenigen, die den Operator als internen Ausdruck angeben direkte Summe.
Formale Sprachen und Lambda-Kalkül [ edit ]
Formale Sprachen ermöglichen die Formalisierung des Begriffs wohlgeformter Ausdrücke.
In den 1930er Jahren wurde von Alonzo Church und Stephen Kleene eine neue Art von Ausdrücken, Lambda-Ausdrücke genannt, eingeführt, um Funktionen und deren Bewertung zu formalisieren. Sie bilden die Grundlage für den Lambda-Kalkül, ein formales System der mathematischen Logik und der Theorie der Programmiersprachen.
Die Äquivalenz zweier Lambda-Ausdrücke ist unentscheidbar. Dies gilt auch für die Ausdrücke, die reelle Zahlen darstellen, die aus den Ganzzahlen unter Verwendung der arithmetischen Operationen, des Logarithmus und des Exponentials (Richardson-Theorem) gebildet werden.
Variablen [ edit ]
Viele mathematische Ausdrücke enthalten Variablen. Jede Variable kann entweder als freie Variable oder als gebundene Variable klassifiziert werden.
Für eine gegebene Kombination von Werten für die freien Variablen kann ein Ausdruck ausgewertet werden, obwohl für einige Kombinationen von Werten der freien Variablen der Wert des Ausdrucks undefiniert sein kann. Ein Ausdruck stellt somit eine Funktion dar, deren Eingaben die den freien Variablen zugewiesenen Werte sind und deren Ausgabe der resultierende Wert des Ausdrucks ist. [ Zitat benötigt ]
Zum Beispiel Ausdruck
ausgewertet für x = 10, y = 5, ergibt 2; aber es ist undefined für y = 0.
Die Bewertung eines Ausdrucks hängt von der Definition der mathematischen Operatoren und vom Wertesystem ab, das seinem Kontext entspricht.
Zwei Ausdrücke werden als äquivalent bezeichnet, wenn sie für jede Kombination von Werten für die freien Variablen dieselbe Ausgabe haben, d. H. Sie repräsentieren dieselbe Funktion. Beispiel:
Der Ausdruck
hat freie Variable ] x gebundene Variable n Konstanten 1, 2 und 3, zwei Vorkommen eines impliziten Multiplikationsoperators und eines Summationsoperators. Der Ausdruck entspricht dem einfacheren Ausdruck 12 x . Der Wert für x = 3 ist 36.
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