In der Mathematik werden Subverschiebungen des endlichen Typs zur Modellierung dynamischer Systeme verwendet und sind insbesondere Untersuchungsgegenstände der symbolischen Dynamik und der Ergodentheorie. Sie beschreiben auch die Menge aller möglichen Sequenzen, die von einer Zustandsmaschine ausgeführt werden. Die am häufigsten untersuchten Schichträume sind die Subverschiebungen endlichen Typs.
Definition [ edit ]
Es sei V "/> ein endlicher Satz von
Nun sei A "/> A "/> an Adjazenzmatrix mit Einträgen in {0,1} . Mit diesen Elementen konstruieren wir einen gerichteten Graphen G = ( V E ) mit V der Menge der Eckpunkte und E Die Menge der Kanten, die die gerichtete Kante enthalten in E wenn und nur wenn . Y sei die Menge aller unendlichen zulässigen Folgen von Kanten, wobei mit zulässig gemeint ist, dass die Folge ein Lauf des Graphen ist, und die Sequenz kann entweder einseitig oder zweiseitig unendlich sein. Sei T der linke Verschiebungsoperator für solche Sequenzen; es spielt die Rolle des Zeitentwicklungsoperators des dynamischen Systems. Eine Subverschiebung des endlichen Typs wird dann als ein Paar ( Y T ) definiert, das auf diese Weise erhalten wird. Wenn sich die Sequenz in nur einer Richtung bis unendlich erstreckt, wird sie als einseitige Subverschiebung endlichen Typs bezeichnet, und wenn sie bilateral ist, wird sie als zweiseitige Subverschiebung von bezeichnet endlicher Typ.
Formal kann man die Reihenfolge der Kanten als definieren
Dies ist der Raum aller Folgen von Symbolen, so dass dem Symbol p das Symbol q nur dann folgen kann, wenn das (p, q) th Eintrag der Matrix A ist 1. Der Raum aller bi-infiniten Sequenzen ist analog definiert:
Der Shift-Operator T bildet eine Sequenz in der ein- oder zweiseitigen Verschiebung zu einer anderen ab, indem alle Symbole nach links verschoben werden, d. H
Natürlich ist diese Karte nur im Fall der zweiseitigen Verschiebung invertierbar.
Eine Subverschiebung des endlichen Typs wird als transitiv bezeichnet, wenn G stark verbunden ist: Es gibt eine Folge von Kanten von einem Scheitelpunkt zu einem anderen Scheitelpunkt. Es sind genau transitive Subverschiebungen endlichen Typs, die dynamischen Systemen mit dichten Umlaufbahnen entsprechen.
Ein wichtiger Sonderfall ist die full n -shift : Sie hat eine Grafik mit einer Kante, die jeden Scheitelpunkt mit jedem anderen Scheitelpunkt verbindet; das heißt, alle Einträge der Adjazenzmatrix sind 1. Die volle n -shift entspricht dem Bernoulli-Schema ohne das Maß.
Terminologie [ edit ]
Unter dem Begriff shift versteht man unter Konventionen die vollständige n -shift. Eine Subshift ist dann ein beliebiger Unterraum der vollen Schicht, der verschiebungsinvariant (dh ein unter der Aktion des Schichtoperators invarianter Unterraum), nicht leer und für die definierte Produkttopologie geschlossen ist unten. Einige Subshifts können wie oben durch eine Übergangsmatrix charakterisiert werden; Solche Subshifts werden dann als Subshifts des endlichen Typs bezeichnet. Oft wird diese Unterscheidung erforderliche Klärung gelockert, und Subverschiebungen endlichen Typs werden einfach Verschiebungen endlichen Typs genannt . Subverschiebungen endlichen Typs werden manchmal auch topologische Markov-Verschiebungen genannt.
Verallgemeinerungen [ edit ]
Ein Soficsystem ist eine Subverschiebung endlichen Typs, bei der verschiedene Kanten des Übergangsgraphen demselben Symbol entsprechen können. Es kann als Satz von Markierungen von Pfaden durch einen Automaten betrachtet werden: Eine Subverschiebung endlichen Typs entspricht dann einem Automaten, der deterministisch ist. [3]
A Erneuerungssystem ist definiert als die Menge aller unendlichen Verkettungen einer endlichen Menge endlicher Wörter.
Subshifts des endlichen Typs sind identisch mit freien (nicht wechselwirkenden) eindimensionalen Potts-Modellen ( n - Verallgemeinerungen von Ising-Modellen), wobei bestimmte Next-Neighbor-Konfigurationen ausgeschlossen sind. Interagierende Ising-Modelle sind definiert als Subshifts zusammen mit einer kontinuierlichen Funktion des Konfigurationsraums (kontinuierlich in Bezug auf die Produkttopologie, unten definiert). Die Partitionsfunktion und Hamiltonian sind explizit in Bezug auf diese Funktion ausdrückbar.
Subverschiebungen können auf eine bestimmte Art und Weise quantisiert werden, was zur Idee der endlichen Quantenautomaten führt.
Topologie [ edit ]
Die Subverschiebung des endlichen Typs hat eine natürliche Topologie, die von der Produkttopologie am
wobei 
und V erhält die diskrete Topologie .
Eine Grundlage für die Topologie der Verschiebung des endlichen Typs ist die Familie der Zylindersätze
Auf einem Schichtraum können verschiedene Metriken definiert werden. Man kann eine Metrik in einem Schichtraum definieren, indem man zwei Punkte als "nah" betrachtet, wenn sie viele Anfangssymbole gemeinsam haben. Dies ist die p -adic-Metrik. Tatsächlich sind sowohl der ein- als auch der zweiseitige Schichtraum kompakte metrische Räume.
Measure [ edit ]
Eine Subshift endlichen Typs kann mit einer von mehreren verschiedenen Maßnahmen ausgestattet werden, wodurch ein dynamisches System erhalten wird, das die Maßnahmen bewahrt. Ein häufiges Untersuchungsobjekt ist die Markov-Maßnahme die eine Erweiterung der Markov-Kette auf die Topologie der Verschiebung darstellt.
Eine Markov-Kette ist ein Paar ( P π), bestehend aus der -Übergangsmatrix Matrix wofür alle und
für all i . Der stationäre Wahrscheinlichkeitsvektor hat alle und hat
- .
Eine Markov-Kette, wie oben definiert, wird gesagt kompatibel mit der Verschiebung des endlichen Typs sein, wenn wann immer . Die Markov-Maßnahme eines Zylindersatzes kann dann definiert werden durch
![mu (C_ {t} [a_{0},ldots ,a_{s}]) = pi _ {{a_ {0}}} p _ {{a_ {0}, a_ {1}}} cdots p _ {{a_ { {s-1}}, a_ {s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b5560ac02fd8ab8be992d3b28292c46cb3fbe6)
Die Kolmogorov-Sinai-Entropie in Bezug auf die Markov-Maßnahme ist
Zeta-Funktion [ edit ]]
Die Artin-Mazur-Zeta-Funktion wird als formale Potenzreihe definiert
wo Fix ( T n ) ist die Menge von Fixpunkten der n -fachen Verschiebung. [4] Sie hat eine Produktformel
wo γ über die geschlossenen Bahnen läuft. [4] Für Subverschiebungen endlichen Typs ist die Zeta-Funktion eine rationale Funktion von z : [19659460
Siehe auch [ edit ]
- ^ Xie (1996) S. 21
- ^ Xie (1996) S. 22
- ^ Pytheas Fogg (2002) S. 205
- a b Brin & Stuck (2002) S.60
- ^ Brin & Stuck (2002) S. 61
Referenzen edit ]
- Brin, Michael; Stuck, Garrett (2002). Einführung in dynamische Systeme (2. Ausgabe). Cambridge University Press. ISBN 0-521-80841-3.
- David Damanik, Strictly Ergodic Subshifts and Associated Operators (2005)
- Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A., Hrsg. Substitutionen in Dynamik, Arithmetik und Kombinatorik . Skript zur Vorlesung in Mathematik. 1794 . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015. * Natasha Jonoska, Subverschiebungen endlicher Art, Sofic Systems and Graphs (2000) ](1991), erschien als Kapitel 2 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics und Hyperbolic Spaces Tim Bedford, Michael Keane und Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Bietet eine kurze Einführung mit Übungen und umfangreichen Referenzen.)
- Lind, Douglas; Marcus, Brian (1995). Eine Einführung in die symbolische Dynamik und Codierung . Cambridge University Press. ISBN 0-521-55124-2. Zbl 1106.37301
- Teschl, Gerald (2012). Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme . Vorsehung: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0
- Xie, Huimin (1996). Grammatische Komplexität und eindimensionale dynamische Systeme . Wegbeschreibung im Chaos. 6 . World Scientific. ISBN 9810223986.
Weiterführende Literatur [ edit ]
- Williams, Susan G., Hrsg. (2004). Symbolische Dynamik und ihre Anwendungen: American Mathematical Society, Short Course, 4.-5. Januar 2002, San Diego, Kalifornien . Vorträge zu Symposien in der angewandten Mathematik: AMS-Kurzvorlesungsunterlagen. 60 . Amerikanische Mathematische Gesellschaft. ISBN 0-8218-3157-7. Zbl 1052.37003.
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