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Die Methode von Fujikawa ist eine Methode zur Ableitung der chiralen Anomalie in der Quantenfeldtheorie.

Nehmen wir an, ein Dirac-Feld sei gegeben, das gemäß einer ρ-Darstellung der kompakten Lie-Gruppe transformiert G ; und wir haben eine Hintergrundverbindungsform, um Werte in der Lie-Algebra zu nehmen ${displaystyle {mathfrak {g}},.}$ Der Dirac-Operator (in Feynman-Schrägstrichnotation) ist

{ displaystyle D ! ! ! ! ! ! / { Stackrel { mathrm {def}} {=}} partial ! ! ! ! ! /! + IA ! ! ! /}

und die fermionische Wirkung ist gegeben durch

{displaystyle int d^{d}x,{overline {psi }}iD!!!!/psi }

Die Partitionsfunktion ist

{displaystyle Z[A]=int {mathcal {D}}{overline {psi }}{mathcal {D}}psi ,e^{-int d^{d}x,{overline {psi }}iD!!!/,psi }.}

Die Achsensymmetriewandlung geht als

{ displaystyle psi bis e ^ {i gamma _ {d + 1} alpha (x)} psi ]}

{displaystyle {overline {psi }}to {overline {psi }}e^{igamma _{d+1}alpha (x)}}

{ displaystyle S bis S + int d ^ {d} x , alpha (x) partial _ { mu} left ({ overline { psi}} gamma ^ { mu} gamma _ {d + 1} psi right)}

Klassisch bedeutet dies, dass der chirale Strom ${ displaystyle j_ {d + 1} ^ { mu} equiv { overline { psi}} gamma ^ { mu} gamma _ {d + 1} psi}$ ist konserviert, ${ displaystyle 0 = partiell _ { mu} j_ {d + 1} ^ { mu}}$ .

Quantenmechanisch ist der chirale Strom nicht konserviert: Jackiw entdeckte dies aufgrund des nicht verschwindenden Dreiecksdiagramms. Fujikawa interpretierte dies als Änderung der Partitionsfunktion unter einer chiralen Transformation. Um eine Änderung der Kennzahl unter einer chiralen Transformation zu berechnen, betrachten Sie zunächst die Dirac-Fermionen in einer Basis von Eigenvektoren des Dirac-Operators: