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Das Modell Gross-Neveu ist ein Modell der Quantenfeldtheorie von Dirac-Fermionen, die über vier Fermion-Wechselwirkungen in einer räumlichen und einer zeitlichen Dimension interagieren. Es wurde 1974 von David Gross und André Neveu ^[1] als Spielzeugmodell für die Quantenchromodynamik, die Theorie der starken Wechselwirkungen, eingeführt.

Es besteht aus N. Dirac-Fermionen, ₁..., _N. Die Lagrange-Dichte ist

{displaystyle {mathcal {L}}={bar {psi }}_{a}left(ipartial !!!/-mright)psi ^{a}+{frac {g^{2}}{2N}}left[{bar {psi }}_{a}psi ^{a}right]^{2}}

unter Verwendung der Einstein-Summennotation in der g steht die Kopplungskonstante. Wenn die Masse m ungleich Null ist, ist das Modell klassisch massiv, ansonsten hat es eine chirale Symmetrie.

Dieses Modell hat eine globale U (N) -Symmetrie. Wenn man N = 1 nimmt (was nur eine quartische Wechselwirkung erlaubt) und keinen Versuch unternimmt, die Dimension analytisch fortzusetzen, reduziert sich das Modell auf das massive Thirring-Modell (das vollständig integrierbar ist). ^[2] [19659003 Es handelt sich um eine 2-dimensionale Version des 4-dimensionalen Nambu-Jona-Lasinio-Modells (NJL), das 14 Jahre zuvor als Modell der dynamischen Chiralitätssymmetrie (jedoch ohne Quark-Confinement) nach der BCS-Theorie der Supraleitung eingeführt wurde . Die 2-dimensionale Version hat den Vorteil, dass die 4-Fermi-Wechselwirkung renormalisierbar ist, was sich in keiner größeren Anzahl von Dimensionen befindet.

Merkmale der Theorie [ edit ]

Gross und Neveu untersuchten dieses Modell in der großen N-Grenze und dehnten die relevanten Parameter in einer 1 / N-Erweiterung aus. Nachdem sie gezeigt hatten, dass dieses und verwandte Modelle asymptotisch frei sind, stellten sie fest, dass bei kleinen Fermionenmassen das Bifermionenkondensat ${displaystyle {overline {psi }}_{a}psi ^{a}}$ erhält einen Vakuumerwartungswert (VEV) und als Ergebnis werden die fundamentalen Fermionen massiv. Sie stellen fest, dass die Masse in der Kopplungskonstante g nicht analytisch ist. Der Vakuumerwartungswert bricht spontan die chirale Symmetrie der Theorie.

Genauer gesagt, um das Vakuum erweitert, ohne einen Vakuumerwartungswert für das bilineare Kondensat, das sie gefunden haben, ein Tachyon. Dazu lösen sie die Renormierungsgruppengleichungen für den Propagator des Bifermionsfeldes, indem sie die Tatsache verwenden, dass die einzige Renormierung der Kopplungskonstante von der Wellenfunktionsnormalisierung des zusammengesetzten Feldes herrührt. Sie berechneten dann in führender Reihenfolge in einer 1 / N-Erweiterung, aber in allen Ordnungen in der Kopplungskonstante, die Abhängigkeit der potentiellen Energie vom Kondensat unter Verwendung der wirksamen Aktionstechniken, die Sidney Coleman im Vorjahr an der Erice International Summer School of International eingeführt hatte Physik. Sie fanden heraus, dass dieses Potential bei einem Wert ungleich Null des Kondensats minimiert ist, was darauf hinweist, dass dies der wahre Wert des Kondensats ist. Bei der Erweiterung der Theorie über das neue Vakuum stellte sich heraus, dass das Tachyon nicht mehr vorhanden ist. In der Tat gibt es wie bei der BCS-Theorie der Supraleitung eine Massenlücke.

Anschließend führten sie eine Reihe allgemeiner Argumente zur dynamischen Massenerzeugung in Quantenfeldtheorien. Sie zeigten zum Beispiel, dass nicht alle Massen in Theorien erzeugt werden können, die infrarotstabil sind, und argumentieren damit, dass zumindest in führender Reihenfolge in 1 / N das 4-dimensionale ${displaystyle phi ^{4}}$ Theorie existiert nicht. Sie argumentierten auch, dass in asymptotisch freien Theorien die dynamisch erzeugten Massen niemals analytisch von den -Kopplungskonstanten abhängen.

Verallgemeinerungen [ edit ]

Gross und Neveu betrachteten mehrere Verallgemeinerungen. Zuerst betrachteten sie einen Lagrangianer mit einer zusätzlichen quartischen Wechselwirkung