Kongruenz (Geometrie) - Wikipedia

Ein Beispiel für Kongruenz. Die beiden linken Dreiecke sind kongruent, das dritte ist ihnen ähnlich. Das letzte Dreieck ist keinem anderen ähnlich oder kongruent. Die Kongruenz erlaubt die Änderung einiger Eigenschaften, z. B. Lage und Ausrichtung, aber andere, wie Entfernung und Winkel, bleiben unverändert. Die unveränderten Eigenschaften werden Invarianten genannt.

In der Geometrie sind zwei Figuren oder Objekte kongruent wenn sie die gleiche Form und Größe haben oder wenn eines die gleiche Form und Größe wie das Spiegelbild des anderen hat ^[1]

Formell werden zwei Sätze von Punkten als kongruent bezeichnet, wenn und nur dann, wenn einer durch eine Isometrie in den anderen umgewandelt werden kann, dh eine Kombination von starren Bewegungen . nämlich eine Übersetzung, eine Rotation und eine Reflexion. Dies bedeutet, dass jedes Objekt umpositioniert und reflektiert (aber nicht in der Größe geändert) werden kann, sodass es genau mit dem anderen Objekt übereinstimmt. Zwei unterschiedliche ebene Figuren auf einem Blatt Papier sind also deckungsgleich, wenn wir sie ausschneiden und vollständig zusammenfügen können. Das Umdrehen des Papiers ist erlaubt.

Dieses Diagramm veranschaulicht das geometrische Prinzip der Winkel-Winkelseiten-Dreieckkongruenz: Wenn Dreieck ABC und Dreieck A'B'C 'vorliegt, ist Dreieck ABC mit Dreieck A'B'C' kongruent, wenn der Winkel CAB deckungsgleich ist mit C'A'B 'und dem Winkel ABC stimmt mit A'B'C' überein und BC stimmt mit B'C 'überein

In der elementaren Geometrie wird das Wort kongruent häufig wie folgt verwendet. 19659006] Das Wort gleich wird oft anstelle von kongruent für diese Objekte verwendet.

• Zwei Liniensegmente sind deckungsgleich, wenn sie die gleiche Länge haben.
• Zwei Winkel sind deckungsgleich, wenn sie dasselbe Maß haben.
• Zwei Kreise sind deckungsgleich, wenn sie den gleichen Durchmesser haben.

In diesem Sinne zwei ebene Figuren sind kongruent impliziert, dass ihre entsprechenden Eigenschaften "deckungsgleich" oder "gleich" sind, einschließlich nicht nur ihrer entsprechenden Seiten und Winkel, sondern auch der entsprechenden Diagonalen, Perimeter und Flächen.

Das verwandte Konzept der Ähnlichkeit gilt, wenn die Objekte dieselbe Form haben, aber nicht notwendigerweise dieselbe Größe haben. (Die meisten Definitionen betrachten Kongruenz als eine Form der Ähnlichkeit, obwohl eine Minderheit es erfordert, dass die Objekte unterschiedliche Größen haben, um als ähnlich zu gelten.)

Bestimmung der Kongruenz von Polygonen

Die orange und grünen Vierecke sind kongruent; das Blau ist für sie nicht deckungsgleich. Alle drei haben den gleichen Umfang und die gleiche Fläche. (Die Anordnung der Seiten des blauen Vierecks ist "gemischt", was dazu führt, dass zwei der Innenwinkel und eine der Diagonalen nicht deckungsgleich sind.)

Damit zwei Polygone deckungsgleich sein können, müssen sie gleich viele Seiten haben (und daher eine gleiche Anzahl - dieselbe Anzahl - von Scheitelpunkten). Zwei Polygone mit n -Seiten sind genau dann deckungsgleich, wenn sie jeweils numerisch identische Folgen haben (auch wenn sie für ein Polygon im Uhrzeigersinn und für das andere gegen den Uhrzeigersinn) für ] n Seiten und n Winkel.

Die Kongruenz von Polygonen lässt sich grafisch wie folgt feststellen:

• Zuerst die entsprechenden Scheitelpunkte der beiden Figuren abgleichen und beschriften.
• Zweitens einen Vektor von einem der Scheitelpunkte der einen der Figuren zum entsprechenden Scheitelpunkt der anderen Figur zeichnen. Übersetzen die erste Zahl durch diesen Vektor, so dass diese beiden Scheitelpunkte übereinstimmen.
• Drittens drehen die übersetzte Zahl um den übereinstimmenden Scheitelpunkt, bis ein Paar entsprechender Seiten übereinstimmt.
• Viertens: reflektiert die gedrehte Figur um diese übereinstimmende Seite, bis die Figuren übereinstimmen.

Wenn der Schritt zu keinem Zeitpunkt abgeschlossen werden kann, sind die Polygone nicht kongruent.

Kongruenz von Dreiecken

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn ihre entsprechenden Seiten gleich lang sind und ihre entsprechenden Winkel gleich groß sind.

Wenn das Dreieck ABC mit dem Dreieck DEF kongruent ist, kann die Beziehung mathematisch geschrieben werden als:

${\displaystyle \mathrm{19\; <!--\; △\; -->}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}<!--\; \cong \; -->\mathrm{<!--\; △\; -->}\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F.}\{ABC\}\; cong\; triangle\; mathrm\; \{DEF\}.\}}$

In vielen Fällen reicht es aus, das zu ermitteln Gleichheit von drei entsprechenden Teilen und verwenden Sie eines der folgenden Ergebnisse, um die Kongruenz der beiden Dreiecke abzuleiten.

Die Form eines Dreiecks wird bis zur Kongruenz bestimmt, indem zwei Seiten und der Winkel dazwischen (SAS), zwei Winkel und die Seite zwischen ihnen (ASA) oder zwei Winkel und eine entsprechende benachbarte Seite (AAS) angegeben werden. Die Angabe zweier Seiten und eines benachbarten Winkels (SSA) kann jedoch zwei unterschiedliche mögliche Dreiecke ergeben.

Bestimmung der Kongruenz

Ein ausreichender Beweis für die Kongruenz zwischen zwei Dreiecken im euklidischen Raum kann durch folgende Vergleiche gezeigt werden:

• SAS (Seitenwinkelseite): Wenn zwei Seitenpaare von zwei Dreiecken gleich lang sind und die eingeschlossenen Winkel gleich groß sind, dann sind die Dreiecke kongruent.
• SSS (Side-Side-Side): Wenn drei Seitenpaare von zwei Dreiecken gleich lang sind, sind die Dreiecke deckungsgleich.
• ASA (Angle-Side-Angle) : Wenn zwei Winkelpaare von zwei Dreiecken gleich groß sind und die eingeschlossenen Seiten gleich lang sind, sind die Dreiecke kongruent.
  Das ASA-Postulat wurde von Thales of Milet (Griechisch) beigesteuert. In den meisten Axiomensystemen werden die drei Kriterien SAS, SSS und ASA als Theoreme aufgestellt. In dem System der School Mathematics Study Group wird SAS als eines (# 15) von 22 Postulaten angesehen.
• AAS (Angle-Angle-Side): Wenn zwei Winkelpaare von Zwei Dreiecke sind in der Messung gleich und ein Paar von entsprechenden nicht eingeschlossenen Seiten ist in der Länge gleich, dann sind die Dreiecke kongruent. AAS ist äquivalent zu einer ASA-Bedingung, da zwei Winkel gegeben sind, also der dritte Winkel, da ihre Summe 180 ° betragen sollte. ASA und AAS werden manchmal in einer einzigen Bedingung kombiniert, AAcorrS - zwei beliebige Winkel und eine entsprechende Seite. ^[3]
• RHS (Rechtswinkel) -Hypotenuse-Side), auch bekannt als HL (Hypotenuse-Leg): Wenn zwei rechtwinklige Dreiecke ihre Hypotenusen gleich lang sind und ein Paar kürzerer Seiten gleich lang ist, dann sind die Dreiecke gleich kongruent.

Seitlicher Seitenwinkel

Der SSA-Zustand (Side-Side-Angle), der zwei Seiten und einen nicht eingeschlossenen Winkel (auch als ASS oder Angle-Side-Side bezeichnet) angibt, ist nicht von selbst Kongruenz beweisen. Um die Kongruenz zu zeigen, sind zusätzliche Informationen erforderlich, wie das Messen der entsprechenden Winkel und in einigen Fällen die Länge der beiden Paare der entsprechenden Seiten. Es gibt einige mögliche Fälle:

Wenn zwei Dreiecke die SSA-Bedingung erfüllen und die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite größer oder gleich der Länge der benachbarten Seite ist (SSA oder long side-short side angle), sind die beiden Dreiecke kongruent . Die Gegenseite ist manchmal länger, wenn die entsprechenden Winkel spitz sind, aber ist immer länger wenn die entsprechenden Winkel richtig oder stumpf sind. Wenn der Winkel ein rechter Winkel ist, auch bekannt als Hypotenuse-Leg (HL) -Postulat oder rechtwinklig-hypotenuse-seitige (RHS) Bedingung, kann die dritte Seite unter Verwendung des Satzes von Pythagorean berechnet werden, wodurch das SSS-Postulat ermöglicht wird angewendet.

Wenn zwei Dreiecke die SSA-Bedingung erfüllen und die entsprechenden Winkel spitz sind und die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite gleich der Länge der benachbarten Seite multipliziert mit dem Sinus des Winkels ist, sind die beiden Dreiecke kongruent.

Wenn zwei Dreiecke die SSA-Bedingung erfüllen und die entsprechenden Winkel spitz sind und die Länge der dem Winkel gegenüberliegenden Seite größer ist als die Länge der benachbarten Seite, multipliziert mit dem Sinus des Winkels (jedoch geringer als die Länge der benachbarten Seite), dann können die beiden Dreiecke nicht als kongruent dargestellt werden. Dies ist der mehrdeutige Fall, und aus den gegebenen Informationen können zwei verschiedene Dreiecke gebildet werden. Weitere Informationen, die sie unterscheiden, können zu einem Übereinstimmungsnachweis führen.

Winkel-Winkel-Winkel

In der euklidischen Geometrie liefert AAA (Angle-Angle-Angle) (oder nur AA, da sich in der euklidischen Geometrie die Winkel eines Dreiecks bis zu 180 ° addieren) keine Informationen bezüglich der Größe der beiden Dreiecke und beweist daher nur Ähnlichkeit und keine Übereinstimmung im euklidischen Raum.

In der sphärischen Geometrie und der hyperbolischen Geometrie (wobei die Summe der Winkel eines Dreiecks mit der Größe variiert) reicht AAA jedoch für eine Kongruenz bei einer bestimmten Krümmung der Oberfläche aus. ^[4]

CPCTC

Diese Abkürzung steht für Übereinstimmende Teile von kongruenten Dreiecken sind kongruent eine abgekürzte Version der Definition von kongruenten Dreiecken. ^{[5] [6]}

Weise zu sagen, dass, wenn Dreiecke ABC und DEF kongruent sind, das heißt

${19659034] {19659034] {19659034] {19659034] cong triangle DEF,}$

mit entsprechenden Winkelpaaren an den Eckpunkten A und D ; B und E ; und C und F und mit entsprechenden Seitenpaaren AB und DE ; v. Chr. und EF ; und CA und FD dann gelten die folgenden Aussagen:

${ displaystyle {AB}} cong { overline {DE}} }$

${ displaystyle { overline {BC}} cong { overline {EF}}}$ D F { displaystyle { overline {AC}} cong { overline {DF}}} [19659095] { displaystyle { overline {AC}} cong { overline {DF}}} "/>

${ Displaystyle Winkel BAC Winkel Winkel EDF}$

${Anzeige style angle ABC cong angle DEF}$

${ displaystyle angle BCA cong angle EFD.}$