sora aoi9a: Topologisches Tensorprodukt

Tensorproduktkonstruktionen für topologische Vektorräume

In der Mathematik gibt es normalerweise viele verschiedene Arten, ein topologisches Tensorprodukt aus zwei topologischen Vektorräumen zu konstruieren. Für Hilbert-Räume oder Kernräume gibt es eine einfache Theorie von Tensor-Produkten (siehe Tensor-Produkt von Hilbert-Räumen), für allgemeine Banach-Räume oder lokal konvexe topologische Vektorräume ist die Theorie jedoch subtil subtil.

Motivation [ edit ]

Eine der ursprünglichen Motivationen für topologische Tensorprodukte ${ displaystyle { otimes}} }$ ist die Tatsache, dass Tensorprodukte der Räume glatter Funktionen auf ${ displaystyle mathbb {R } ^ {n}}$ verhalten sich nicht wie erwartet. Es gibt eine Spritze

{displaystyle C^{infty }(mathbb {R} ^{n})otimes C^{infty }(mathbb {R} ^{m})hookrightarrow C^{infty }(mathbb {R} ^{n+m})}

aber dies ist kein Isomorphismus. Die Funktion ${displaystyle f(x,y)=e^{xy}}$ ${ displaystyle f (x, y) = e ^ {xy}}$ kann nicht als endliche lineare Kombination glatter Funktionen in [19659054ausgedrücktwerden] C 19 ( R x ) C [[1965957] R y [1965959]] . { displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R} _ {x}) otimes C ^ { infty} ( mathbb {R} _ {y}). } ${ displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R} _ {x}) otimes C ^ { infty} ( mathbb {R} _ {y}).}$ ^[1] Nur wir erhalten Sie einen Isomorphismus nach dem Aufbau des topologischen Tensorprodukts; d.h.

{displaystyle C^{infty }(mathbb {R} ^{n}){hat {otimes }}C^{infty }(mathbb {R} ^{m})cong C^{infty }(mathbb {R} ^{n+m})}

Dieser Artikel beschreibt zuerst die Konstruktion in der Banach Raum Fall. ${1945style C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}) }$ ist kein Banach-Feld und weitere Fälle werden am Ende diskutiert.

Tensorprodukte von Hilbert-Räumen [ edit ]

Das algebraische Tensorprodukt von zwei Hilbert-Räumen A B hat ein natürliches Positiv bestimmte sesquilineare Form (Skalarprodukt), induziert durch die sesquilinearen Formen von A und B . So hat es insbesondere eine natürlich positive, definierte quadratische Form, und die entsprechende Vollendung ist ein Hilbert-Raum A [1945 B genannt das (Hilbert-Raum) -Sensorprodukt von A und B .

Wenn die Vektoren a _i und b _j durch orthonormale Basen von A und B laufen, dann bilden die Vektoren a _i[1945 b _j eine orthonormale Basis von A B B .

Cross-Normen und Tensorprodukte von Banach-Räumen [ edit ]

Wir werden die Notation von (Ryan 2002) in diesem Abschnitt verwenden. Der naheliegende Weg, das Tensorprodukt zweier Banachräume A und B zu definieren, besteht darin, die Methode für Hilbert-Räume zu kopieren: Definieren Sie eine Norm für das algebraische Tensorprodukt und nehmen Sie die Fertigstellung in vor diese Norm. Das Problem ist, dass es mehr als einen natürlichen Weg gibt, eine Norm für das Tensorprodukt zu definieren.
Wenn A und B Banachräume sind, bedeutet das algebraische Tensorprodukt von A und B das Tensorprodukt von A und B als Vektorräume und wird mit ${ displaystyle A otimes B}$ . Das algebraische Tensorprodukt ${ displaystyle A otimes B}$ besteht aus allen endlichen Summen

${displaystyle x=sum _{i=1}^{n}a_{i}otimes b_{i}}$
b "/> b "/> b "/> b "/> b "/> b "/> ] { displaystyle x = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} otimes b_ {i}} $x = sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ { i} otimes b_ {i}$
wobei ${ displaystyle n}$ eine natürliche Zahl ist, abhängig von ${ displaystyle x} [19659151] x "/>$
Wenn A und B Banachräume sind, eine -Kreuznorm auf dem algebraischen Tensorprodukt ${ displaystyle A otimes B}$ ist eine Norm, die die Bedingungen erfüllt

${ displaystyle p (a otimes b) = | a | | b |,}$

${displaystyle p'(a'otimes b')=|a'||b'|.}$
Hier a 'und b ' befinden sich in den topologischen Doppelräumen von A und B und p 'ist die Doppelnorm von p . Der Begriff vernünftiger Crossnorm wird auch für die obige Definition verwendet.
Es gibt eine Kreuznorm ${ displaystyle pi}$ die projektive Kreuznorm, gegeben von

${19659259] { displaystyle pi (x)} { sum _ {i = 1} ^ {n} | a_ {i} | | b_ {i} |: x = sum _ {i} a_ {i} otimes b_ {i} right }}$
wobei ${ displaystyle x in A otimes B}$ .
Es zeigt sich, dass die projektive Kreuznorm mit der größten Kreuznorm übereinstimmt ((Ryan 2002), Satz 2.1).
Es gibt eine Kreuznorm ${ displaystyle varepsilon}$ die als injizierende Kreuznorm bezeichnet wird

${ displaystyle varepsilon (x) = sup {| (a ' otimes b') (x) |: a ' in A', b ' in B', | a ' | = | b ' | = 1 }}$
wobei ${ displaystyle x in A otimes B}$ . Dabei bedeuten A 'und B ' die topologischen Duale von A bzw. B .
Beachten Sie hierbei, dass die injizierende Kreuznorm nur in einem vernünftigen Sinn die "kleinste" ist.
Die Fertigstellungen des algebraischen Tensorprodukts in diesen beiden Normen werden als projektive und injektive Tensorprodukte bezeichnet und mit ${ displaystyle A operatorname { hat { otimes}} _ { pi} B}$ und ${displaystyle Aoperatorname {hat {otimes }} _{varepsilon }B.}$
Wenn A und B Hilbert-Räume sind, entspricht die Norm für ihr Hilbert-Weltraumtensorprodukt keiner dieser Normen im Allgemeinen. Einige Autoren bezeichnen es mit σ, so dass das Hilbert-Weltraumtensorprodukt im obigen Abschnitt ${ displaystyle A Operatorname { hat { otimes}} _ { sigma} B.}$
A einheitlicher Crossnorm α ist eine Zuordnung zu jedem Paar ${19659038] (1945) , Y)}$ von Banachräumen eines vernünftigen Crossnorm auf ${{displaystyle X otimes Y} [19659374] X otimes Y "/>$
Ein einheitlicher Crossnorm ${ displaystyle alpha]$ soll endlich erzeugt werden wenn für jedes Paar ${ displaystyle (X, Y)}$ von Banach-Räumen und jeder ${ displaystyle u in X otimes Y}$
Ein einheitlicher Crossnorm [19659522] α { displaystyle alpha} $alpha$ wird kofinitisch generiert, wenn für jedes Paar X ] Y ) { displaystyle (X, Y)} $(X, Y)$ von Banachräumen und jeder ${ displaystyle u in X otimes Y}$ ,

$<math > α (u) = sup {α (Q E F "/>$
F "/>
F "/>
F "/>
F "/>
]) u ; ( X / E ] ( Y / F ) ) : dim [1945 X / E Dim Dim Y / F <[1945 ] . {1945style alpha (u) = sup { alpha ((Q_ {E} mal Q_ {F}) u; (X / E) mal (Y / F)): dim X / E, dim Y / F < infty }.} [19659575] <img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad89040ad50a9295199e11479ee53d200e322f29" class = "mwe -math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -0.838ex; Breite: 73.702ex; height: 2.843ex; "alt =" alpha (u) = sup { alpha ((Q_ {E} mal Q_ {F}) u; (X / E) mal (Y / F)): dim X / E, dim Y / F
Eine Tensor-Norm wird als endlich erzeugter gleichförmiger Crossnorm definiert. Die projektive Kreuznorm ${ displaystyle pi}$ und die injizierende Kreuznorm ${ displaystyle varepsilon} [19659274] varepsilon "/>$
${1945_Style Varepsilon _ {A, B} (x) leq alpha _ {A, B} (x) leq pi _ {A, B} (x).}$

Tensorprodukte von lokal konvexen topologischen Vektorräumen [ edit ]

Die Topologien von lokal konvexen topologischen Vektorräumen ${Displaystyle A$ und ${ displaystyle B}$ werden von Familien von Seminaren gegeben. Für jede Seminarwahl am ${ displaystyle A}$ und am ${ displaystyle B}$ und durch Auswahl einer Kreuznorm aus jeder Familie erhalten wir einige Kreuznormen auf ${ displaystyle A otimes B} (19659575)$ bis ${ displaystyle A otimes _ { lambda} B.}$
Wenn ${ displaystyle A}$ oder ${ displaystyle B}$

Siehe auch [ edit ]

Referenzen [ edit

Ryan, R.A. (2002), Einführung in Tensorprodukte von Banach-Räumen New York: Springer .

Grothendieck, A. (1955), "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires", Memoirs der American Mathematical Society 16 .