In der Geometrie ist eine unsachgemäße Rotation [1] auch als Rotorreflexion bezeichnet, [1] Drehreflexion, [2] oder Rotoinversion [3] je nach Kontext a lineare Transformation oder affine Transformation, die die Kombination einer Drehung um eine Achse und einer Reflexion in einer Ebene senkrecht zu dieser Achse darstellt. [4]
Drei Dimensionen [ edit
In 3D ist es äquivalent die Kombination von Rotation und Inversion in einem Punkt auf der Achse. [1] Daher wird sie auch als bezeichnet. Rotoinversion oder Rotationsinversion . Eine dreidimensionale Symmetrie, die nur einen festen Punkt hat, ist notwendigerweise eine falsche Drehung. [2]
In beiden Fällen pendeln die Operationen. Umlenkung und Umdrehung sind gleich, wenn sich der Drehwinkel um 180 ° unterscheidet und der Umkehrpunkt in der Reflexionsebene liegt.
Eine falsche Drehung eines Objekts erzeugt somit eine Drehung seines Spiegelbildes. Die Achse wird als Rotationsreflexionsachse bezeichnet. [5] Dies wird als n -fache falsche Drehung bezeichnet, wenn der Drehwinkel 360 ° / n beträgt [5] Es gibt verschiedene Systeme zur Benennung einzelner unzulässiger Rotationen:
- Die Schoenflies-Notation verwendet das Symbol S n (Deutsch, Spiegel für Spiegel ) bezeichnet die durch einen erzeugte Symmetriegruppe. n -fache falsche Drehung. Beispielsweise ist die Symmetrieoperation S 6 die Kombination aus einer Drehung von (360 ° / 6) = 60 ° und einer Spiegelebenenreflexion. (Dies sollte nicht mit der gleichen Notation für symmetrische Gruppen verwechselt werden.) [5]
- In der Hermann-Mauguin-Notation wird das Symbol n für n -fach Rotoinversion verwendet. dh Drehung um einen Drehwinkel von 360 ° / n mit Inversion.
- Die Coxeter-Notation für S 2n lautet [2 n + ]2 + ].
- Die Orbifold-Notation lautet n ×, Ordnung 2 n .
Die direkte Untergruppe, Index 2, ist C. n [ n ] + ( nn ), um n zu bestellen, da der Rotorschwinggenerator zweimal angewendet wurde .
S 2 n für ungerade n enthalten Inversion, mit S 2 = C i ist die durch Inversion erzeugte Gruppe. S 2 n enthalten indirekte Isometrien, jedoch keine Inversion sogar für n . Wenn ungerade p ein Divisor von n ist, dann ist S 2 n / p eine Untergruppe von S 2 n . Beispielsweise ist S 4 eine Untergruppe von S 12 .
Als indirekte Isometrie [ edit ]
In einem weiteren Sinne kann eine falsche Rotation als jede indirekte Isometrie definiert werden. ein Element von E (3) / E + (3): somit kann es auch eine reine Reflexion in einer Ebene sein oder eine Gleitfläche haben. Eine indirekte Isometrie ist eine affine Transformation mit einer orthogonalen Matrix, die eine Determinante von -1 aufweist.
Eine richtige Rotation ist eine gewöhnliche Rotation. Im weiteren Sinne wird eine richtige Rotation als direkte Isometrie definiert. ein Element von E + (3): es kann auch die Identität, eine Rotation mit einer Translation entlang der Achse oder eine reine Translation sein. Eine direkte Isometrie ist eine affine Transformation mit einer orthogonalen Matrix, die eine Determinante von 1 hat.
Sowohl im engeren als auch im breiteren Sinne ist die Komposition von zwei unsachgemäßen Rotationen eine richtige Rotation, und die Komposition einer ungeeigneten und einer richtigen Rotation ist eine falsche Rotation.
Physische Systeme [ edit ]
Bei der Untersuchung der Symmetrie eines physikalischen Systems unter einer ungeeigneten Rotation (z. B. wenn ein System eine Spiegelsymmetrieebene hat), ist es wichtig zu unterscheiden zwischen Vektoren und Pseudovektoren (sowie Skalaren und Pseudoskalaren und im Allgemeinen zwischen Tensoren und Pseudotensoren), da letztere sich unter geeigneten und falschen Drehungen unterschiedlich transformieren (in 3 Dimensionen sind Pseudovektoren unter Inversion invariant).
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit
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