Eine Annuität ist eine Reihe von Zahlungen, die in gleichen Abständen geleistet werden. [1] Beispiele für Annuitäten sind regelmäßige Einzahlungen auf ein Sparkonto, monatliche Hypothekenzahlungen, monatliche Versicherungszahlungen und Pensionszahlungen. Annuitäten können nach der Häufigkeit der Zahlungstermine klassifiziert werden. Die Zahlungen (Einlagen) können wöchentlich, monatlich, vierteljährlich, jährlich oder in einem anderen regelmäßigen Zeitraum erfolgen.
Eine Annuität, die Zahlungen für den Rest des Lebens einer Person vorsieht, ist eine Leibrente.
Renten können auf verschiedene Weise klassifiziert werden.
Zeitpunkt der Zahlungen [ edit ]
Zahlungen einer Annuität-sofort werden am Ende der Zahlungsperioden geleistet, so dass zwischen der Ausgabe von die Annuität und die erste Zahlung. Zahlungen einer fälligen Rente werden zu Beginn von Zahlungsperioden geleistet, so dass eine Zahlung sofort bei Ausgabe erfolgt.
Eventualverbindlichkeiten für Zahlungen [ edit ]
Renten, die Zahlungen liefern, die über einen im Voraus bekannten Zeitraum gezahlt werden, sind Renten, die bestimmte oder garantierte Renten garantieren Nur unter bestimmten Umständen gezahlte Renten sind bedingte Renten . Ein bekanntes Beispiel ist eine Leibrente, die über die Restlaufzeit des Rentenalters gezahlt wird. Bestimmte Renten- und Rentenversicherungen werden garantiert für eine Reihe von Jahren gezahlt und hängen dann davon ab, ob der Räuber am Leben ist.
Variabilität der Zahlungen [ edit ]
- Feste Renten - Hierbei handelt es sich um Renten mit festen Zahlungen. Bei Bereitstellung durch ein Versicherungsunternehmen garantiert das Unternehmen eine feste Rendite auf die Erstinvestition. Feste Annuitäten werden nicht von der Securities and Exchange Commission reguliert.
- Variable Annuitäten - Registrierte Produkte, die von der SEC in den Vereinigten Staaten von Amerika reguliert werden. Sie ermöglichen die direkte Anlage in verschiedene Fonds, die speziell für Variable Annuities geschaffen wurden. In der Regel garantiert die Versicherungsgesellschaft bestimmte Todesfall- oder lebenslange Entzugsleistungen.
- Aktienindizierte Renten - Renten mit an einen Index gekoppelten Zahlungen. In der Regel beträgt die Mindestzahlung 0% und der Höchstbetrag wird vorbestimmt. Die Performance eines Index bestimmt, ob das Minimum, das Maximum oder etwas dazwischen dem Kunden gutgeschrieben wird.
Stundung von Zahlungen [ edit ]
Eine Rente, die erst nach Zahlungen beginnt eine Periode ist eine aufgeschobene Annuität . Eine Annuität, die Zahlungen ohne Aufschub beginnt, ist eine unmittelbare Annuität .
Bewertung [ edit ]
Bei der Bewertung einer Rente wird der Barwert der zukünftigen Rentenzahlungen berechnet. Die Bewertung einer Annuität beinhaltet Begriffe wie den Zeitwert des Geldes, den Zinssatz und den zukünftigen Wert. [2]
Annuity-sure [ edit ]
Wenn die Anzahl der Zahlungen in bekannt ist Im Voraus ist die Annuität eine Annuität, die bestimmte oder garantierte Annuität garantiert. Die Bewertung bestimmter Annuitäten kann in Abhängigkeit vom Zeitpunkt der Zahlungen anhand von Formeln berechnet werden.
Annuität-sofortig [ edit ]
Wenn die Zahlungen am Ende der Zeiträume geleistet werden, so dass vor der Zahlung Zinsen angesammelt werden, wird die Annuität als bezeichnet Annuität-unmittelbare oder gewöhnliche Annuität . Hypothekenzahlungen sind Annuität-sofort, Zinsen werden vor Zahlung gezahlt.
| ↓ | ↓ | ... | ↓ | Zahlungen | |
| ——— | ——— | ——— | ——— | - | |
| 0 | 1 | 2 | ... | n | Perioden |
Der Barwert einer Annuität ist der Wert eines Zahlungsstroms, der um den Zinssatz abgezinst wird, um der Tatsache Rechnung zu tragen, dass Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten in der Zukunft erfolgen. Der Barwert wird versicherungsmathematisch angegeben durch:
Wobei die Anzahl der Begriffe ist und ist der Zinssatz pro Periode. Der Barwert ist linear in der Höhe der Zahlungen, daher ist der Barwert für Zahlungen oder Miete :
In der Praxis Oft werden Kredite pro Jahr ausgewiesen, während die Zinsen kumuliert werden und die Zahlungen monatlich erfolgen. In diesem Fall wird der Zinssatz als nominaler Zinssatz angegeben, und .
Der zukünftige Wert einer Annuität ist der kumulierte Betrag einschließlich Zahlungen und Zinsen eines Zahlungsstroms, der auf ein verzinsliches Konto geleistet wird. Bei einer Annuität-sofort ist es der Wert unmittelbar nach der n-ten Zahlung. Der zukünftige Wert ist gegeben durch:
- die Anzahl der Begriffe ist und i period zinssatz. Der zukünftige Wert ist linear in der Höhe der Zahlungen, daher ist der zukünftige Wert für Zahlungen oder :
Beispiel: Der Der Barwert einer 5-jährigen Annuität mit einem nominalen jährlichen Zinssatz von 12% und monatlichen Zahlungen von 100 USD ist:
Die Miete wird entweder als der am Ende jeder Periode gezahlte Betrag verstanden als Gegenleistung für einen zum Zeitpunkt Null geliehenen Betrag PV den Betrag des Darlehens oder den Betrag, der von einem verzinslichen Konto am Ende jedes Zeitraums ausgezahlt wird, wenn der Betrag PV zum Zeitpunkt Null angelegt ist, und das Konto wird mit der n-ten Auszahlung zu Null.
Zukünftige und gegenwärtige Werte beziehen sich auf:
und
Nachweis der Annuität-unmittelbaren Formel [ edit ]
Zur Berechnung des Barwerts muss die k-te Zahlung durch Dividieren durch die Zinsen auf die Gegenwart diskontiert werden um k Ausdrücke. Somit wäre der Beitrag der k-ten Zahlung R . Wenn wir nur R als eins betrachten, dann:
- k
- 1
1 1 ( 1 + i ) k = 1 1 + i k = 0 n - 1 1 1 + + 19659275]) k = 1 1 + i ( 1 + i ) - n 1 - (19659116] 1 + + ) - 1 ) Durch Verwendung der Gleichung für die Summe einer geometrischen Reihe 1 - [1965952] ] ( 1 + i ) - n 1 + + + + + 19659080] - 1 = 1 - 19659053] (19659259) 1 1 + i i i . { displaystyle { begin {align} a _ {{ overline {n}} | i} & = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac { 1} {(1 + i) ^ {k}}} = { frac {1} {1 + i}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} left ({ frac {1}) {1 + i}} right) ^ {k} & = { frac {1} {1 + i}} left ({ frac {1- (1 + i) ^ {- n}} { 1- (1 + i) ^ {- 1}}} right) quad quad { text {Durch Verwendung der Gleichung für die Summe einer geometrischen Reihe}} & = { frac {1- (1 + i) ^ {- n}} {1 + i-1}} & = { frac {1- left ({ frac {1} {1 + i}} right) ^ {n}} {i}}. end {align}}} - 1
Annuity-due [ edit ]
Eine Annuity-due ist eine Annuität, deren Zahlungen zu Beginn eines jeden Zeitraums geleistet werden. [3] ] Einlagen in Spar-, Miet- oder Leasingzahlungen und Versicherungsprämien sind Beispiele für fällige Renten.
↓ ↓ ... ↓ Zahlungen ——— ——— ——— ——— - 0 1 ... n-1 n Perioden Jede Annuität kann für eine zusätzliche Periode zusammengelegt werden. Somit können die aktuellen und zukünftigen Werte einer fälligen Rente berechnet werden.
wobei ist die Anzahl der Begriffe, ist der Begriff Zinssatz und d "/> ist der effektive Abzinsungssatz der gegeben ist durch .
Die zukünftigen und gegenwärtigen Werte für fällige Renten beziehen sich auf Folgendes:
Beispiel: Der letzte Wert einer 7-jährigen fälligen Rente mit einem nominalen jährlichen Zinssatz von 9% und monatlichen Zahlungen von 100 US-Dollar können berechnet werden durch:
Beachten Sie, dass in Excel die PV- und FV-Funktionen optional ein fünftes Argument annehmen, das zwischen Annuität-Sofort oder Annuität-bedingt auswählt.
Eine mit n Zahlungen fällige Annuität ist die Summe aus einer Rentenzahlung und einer gewöhnlichen Rente mit einer Zahlung weniger und mit einer Zeitverschiebung einer gewöhnlichen Rente gleich. So haben wir:
- . Der Wert zum Zeitpunkt der ersten von n Zahlungen von 1.
- Ewigkeit [ edit
A A Ewigkeit ist eine Annuität, für die die Zahlungen immer andauern. Beobachte das
Daher hat eine ewige Rente einen endlichen Barwert, wenn der Diskontsatz nicht Null ist. Die Formeln für eine Ewigkeit sind
Wobei der Zinssatz und ist ist der effektive Abzinsungssatz.
Lebensversicherungen [ edit ]
Die Bewertung von Lebensversicherungen kann durch Berechnung des versicherungsmathematischen Barwerts der künftigen lebensversorglichen Eventualzahlungen erfolgen. Lebensdauertabellen werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass der Annuitant für jeden zukünftigen Zahlungszeitraum lebt. Die Bewertung von Rentenversicherungen hängt ebenso vom Zeitpunkt der Zahlungen ab, wie bei bestimmten Rentenversicherungen. Die Rentenversicherungen können jedoch nicht mit ähnlichen Formeln berechnet werden, da der versicherungsmathematische Barwert die Wahrscheinlichkeit des Todes in jedem Alter berücksichtigt.
Amortisationsberechnungen [ edit ]
Wenn eine Annuität für die Rückzahlung einer Schuld P mit Zinsen ist, wird der geschuldete Betrag nach n Zahlungen gezahlt ist
-
R
R
] - P ) . { displaystyle { frac {R} {i}} - left (1 + i right) ^ {n} left ( { frac {R} {i}} - P right).}
Da das Schema mit dem Entleihen des Betrags gleichwertig ist um eine Dauerhaftigkeit mit einem Coupon zu schaffen. und setzen dieses geliehenen Betrags in der Bank, um mit Zinsen zu wachsen .
Dies kann auch als der Barwert der verbleibenden Zahlungen betrachtet werden
Siehe auch Festhypothek.
Beispielberechnungen [ edit ]
Formel für das Finden der periodischen Zahlung (R), A angegeben:
R = A / (1 + 〖(1- (1 + ((j / m)))〗 ^ (- (n-1)) / (j / m))
Beispiele:
- Finden Sie die regelmäßige Zahlung einer Rente von 70000 USD, die jährlich für 3 Jahre zu 15% jährlich gezahlt wird.
- R = 70000 / (1 + 〖(1- (1 + ((15) / 1))) (^ (- (3-1)) / ((15) / 1))
- R = 70000 / 2.625708885
- R = 26659.46724
- Finden Sie die regelmäßige Zahlung einer Rente in Höhe von 250700 $, die vierteljährlich für 8 Jahre zahlbar ist und vierteljährlich gezahlt wird.
- R = 250700 / (1 + 〖(1- (1 + ((05) / 4))〗 ^ (- (32-1)) / ((05) / 4))
- R = 250700 / 26.5692901
- R = 9435,71 $
Feststellung der periodischen Zahlung (R) bei gegebenem S:
R = S , / (((1 + (j / m))〗 ^ (n + 1) -1) / (j / m) -1)
Beispiele:
- Finden Sie die periodische Zahlung eines kumulierten Werts von 55000 USD, die monatlich für 3 Jahre zahlbar ist und zu 15% monatlich berechnet wird.
- R = 55000 / ((((1 + ((15) / 12))) (3 (36 + 1) -1) / ((15) / 12) -1)
- R = 55000 / 45.67944932
- R = 1204,04 $
- Finden Sie die periodische Zahlung eines kumulierten Wertes von 1600000 $, der jährlich für 3 Jahre zu 9% jährlich zusammengezahlt wird.
- R = 1600000 / ((((1 + ((09)) / 1)) (3 + 1) -1) / ((09) / 1) -1)
- R = 1600000 / 3.573129
- R = $ 447786.80
Rechtliche Regelungen ]
Siehe auch []
edit ]
- ^ Kellison, Stephen G. (1970). Die Theorie des Interesses . Homewood, Illinois: Richard D. Irwin, Inc., S. 45
- ^ Lasher, William (2008). Praktische Finanzverwaltung . Mason, Ohio: Thomson South-Western, S. 230. ISBN 0-324-42262-8. 19659829]
- ^ Jordan, Bradford D., Ross, Stephen David, Westerfield, Randolph (2000). Grundlagen der Unternehmensfinanzierung . Boston: Irwin / McGraw-Hill. S. 175. ISBN 0-07-231289-0.
![{ displaystyle s _ {{ overline {n}} | i} = { frac {(1 + i) ^ {n} -1} {i}}.} [19659064] Wobei <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68fe4b0ef9a90c892c41308fd4a081668191ace6)
![{ displaystyle { begin {align} a _ {{ overline {n}} | i} & = sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {(1 + i) ^ {k}}} = { frac {1} {1 + i}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} left ({ frac {1} {1 + i}} right) ^ {k} & = { frac {1} {1 + i}} left ({ frac {1- (1 + i) ^ {- n}} {1- (1 + i) ^ {- 1}}} right) quad quad { text {Durch Verwendung der Gleichung für die Summe einer geometrischen Reihe}} & = { frac { 1- (1 + i) ^ {- n}} {1 + i-1}} & = { frac {1- left ({ frac {1} {1 + i}} right) ^ {n}} {i}}. end {align}}} [19659064] Damit erhalten Sie das gewünschte Ergebnis. </p><p> Ebenso können wir die Formel für den zukünftigen Wert beweisen. Die am Ende des letzten Jahres geleistete Zahlung würde keine Zinsen ansammeln, und die am Ende des ersten Jahres geleistete Zahlung würde Zinsen für insgesamt (<i> n </i> −1) Jahre sammeln. Deshalb, </p> <center> <dl><dd><span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/519c9b866b17d9a8510f22c989f7a6c757d7bf8b)
![{ ddot {s }} {{ overline {n |} i}} = s _ {{ overline {n} | i}} (1 + i) = s _ {{ overline {n + 1 |} i}} - 1 [19659107]. Der Wert eine Periode nach der Zeit von <i> n </i> Zahlungen von 1. </dd></dl><h4><span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367fe0d0ab793bb3629cc4f528bf210851aa854e)
Ewigkeit 
![{19style R left [{frac {1}{i}}-{frac {(i+1)^{n-N}}{i}}right] = R times a _ {{ overline {Nn}} | i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee44ccdb190a01675f21fcb6647df1680ae7060)
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