In der Mathematik und insbesondere in der Differentialgeometrie ist ein Kähler-Krümmer ein Mannigfaltiger mit drei miteinander kompatiblen Strukturen: einer komplexen Struktur, einer Riemannschen Struktur und einer symplektischen Struktur. Das Konzept wurde 1930 zunächst von Jan Arnoldus Schouten und David van Dantzig untersucht und 1933 von Erich Kähler eingeführt. Die Terminologie wurde von André Weil festgelegt.
Jede glatte komplexe Projektionsvariante ist ein Kähler-Krümmer. Die Hodge-Theorie ist ein zentraler Teil der algebraischen Geometrie, die mit Kähler-Metriken nachgewiesen wurde.
Definitionen [ edit ]
Da Kähler-Mannigfaltigkeiten mit mehreren kompatiblen Strukturen ausgestattet sind, können sie aus verschiedenen Blickwinkeln beschrieben werden:
Symplectic viewpoint [ edit ]
Ein Kähler-Verteiler ist ein symplektischer Verteiler X ω ω ] . ausgestattet mit einer integrierbaren, fast komplexen Struktur J die mit der symplektischen Form ω kompatibel ist, was bedeutet, dass die bilineare Form vorliegt
Complex viewpoint edit ]
Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit X mit einer hermitischen Metrik h deren zugehörige 2-Form ω ist geschlossen. h gibt eine positive definitive Hermitianform auf dem Tangentenraum TX an jedem Punkt von X und der 2-Form ω . ist definiert durch
für Tangentialvektoren u und v (wobei i ist die komplexe Zahl ). Für einen Kähler-Verteiler X ist die Kähler-Form ω eine echte geschlossene (1,1) -Form. Ein Kähler-Krümmer kann auch als Riemannscher Krümmer betrachtet werden, wobei die Riemannsche Metrik g von definiert wird
Gleichermaßen ist ein Kähler-Verteiler X ein hermitianischer Mann von komplexer Dimension n so dass für jeden Punkt p von X ein holomorphes Koordinatendiagramm um p existiert, in dem die Metrik mit der Standardmetrik auf C übereinstimmt n um 2 in der Nähe von p zu bestellen. [2] Das heißt, wenn die Karte p auf 0 in C n nimmt. und die Metrik wird in diese Koordinaten geschrieben als h ab = ( 19 / [1945 z a ∂ / [1945 z b ) dann
für alle a b {1, ..., n }.
Da die 2-Form ω geschlossen ist, bestimmt sie ein Element in de Rham-Kohomologie H 2 ( X R ) bekannt als Kähler-Klasse .
Riemannianischer Standpunkt [ edit ]
Ein Kähler-Verteiler ist ein Riemannian-Mannigfaltiger X der geraden Dimension 2 n dessen holonomische Gruppe enthalten ist in der Einheitsgruppe U ( n ). [3] Gleichwertig gibt es an jedem Punkt eine komplexe Struktur J im Tangentenraum von X eine echte lineare Karte aus TX zu sich selbst mit J 2 = -1 ), so dass J g bewahrt wird (was bedeutet, dass g ( Ju Jv ) = g [ u v ) ) und J wird durch Paralleltransport erhalten.
Kähler Potential [ edit ]
Eine glatte reelle Funktion ρ auf einer komplexen Mannigfaltigkeit wird streng plurisubharmonisch genannt, wenn die reelle geschlossene (1,1) -Form vorliegt
ist positiv, dh eine Kähler-Form. Hier sind die Dolbeault-Operatoren. Die Funktion ρ wird als Kähler Potential für ω bezeichnet.
Umgekehrt kann durch die komplexe Version des Poincaré-Lemmas jede Kähler-Metrik lokal auf diese Weise beschrieben werden. Das heißt, wenn ( X ω ) eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist, dann für jeden Punkt p X X Es gibt eine Nachbarschaft U von p und eine glatte, reale Funktion ρ auf U so dass . [4] Hier wird lokales Kähler-Potential für ω genannt. . Es gibt keine vergleichbare Möglichkeit, eine allgemeine Riemannsche Metrik anhand einer einzelnen Funktion zu beschreiben.
Kähler-Mannigfaltigkeiten und Volumen-Minimierer [ edit ]
Für einen kompakten Kähler-Mannigfaltig X das Volumen eines geschlossenen komplexen Unterraums von X ] wird durch seine Homologieklasse bestimmt. In gewissem Sinne bedeutet dies, dass die Geometrie eines komplexen Teilraums in seiner Topologie begrenzt ist. (Dies schlägt für echte Untermannigfaltigkeiten völlig fehl.) Ausdrücklich sagt die Formel von Wirtinger das
wo Y ist ein r -dimensionaler geschlossener komplexer Unterraum und ω ist die Kähler-Form. [5] Seit ω ist dieses Integral geschlossen hängt nur von der Klasse von Y in H 2 r ( X R ) ab. Diese Bände sind immer positiv, was eine starke positive Einstellung der Kähler-Klasse ω in H 2 ( X R ) zum Ausdruck bringt. ) in Bezug auf komplexe Teilräume. Insbesondere ist ω n in H 2 n ( X ) nicht Null. ) für einen kompakten Kähler-Verteiler X mit komplexer Dimension n .
Eine verwandte Tatsache ist, dass jeder geschlossene komplexe Unterraum Y eines kompakten Kähler-Verteilers X ein minimaler Untermanifold (außerhalb seiner einzigartigen Menge) ist. Mehr noch: Durch die Theorie der kalibrierten Geometrie Y wird das Volumen aller (realen) Zyklen in derselben Homologieklasse minimiert.
Der Laplace-Mann auf einem Kähler-Verteiler [ edit ]
Auf einem Riemannschen Verteiler der Dimension N der Laplace-Spieler auf glatten - Formen ist definiert durch
wobei die äußere Ableitung ist und wobei [19659230
ist der 
und zwei andere Laplacians sind definiert:
Wenn X Kähler ist, dann sind diese Laplacians alle gleich bis zu einer Konstanten: [19659312]
Diese Identitäten implizieren das auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit X .
wobei ist der Raum von harmonischen r -Formen X (Formen α mit Δ α = 0 ) und ist der Raum der Harmonischen ( p q ) - Formulare. Das heißt, eine Differentialform ist genau dann harmonisch, wenn jeder von ihnen p ist ] q ) - Komponenten sind harmonisch.
Für einen kompakten Kähler-Verteiler X gibt die Hodge-Theorie eine Interpretation der obigen Aufteilung an, die nicht von der Wahl der Kähler-Metrik abhängt. Die Kohomologie H r ( X C ) X von X mit komplexe Koeffizientenaufteilungen als direkte Summe bestimmter kohärenter Garbe-Kohomologiegruppen: [7]
Die linke Gruppe hängt nur von X als topologischem Raum ab, während die rechten Gruppen von abhängen. X als komplexe Mannigfaltigkeit. Dieser Hodge-Zerlegungssatz verbindet Topologie und komplexe Geometrie für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten.
Lassen Sie H p q ( X X ) der komplexe Vektorraum sein H [19659781] q ( X Ω q ) das mit dem Leerzeichen identifiziert werden kann von harmonischen Formen in Bezug auf eine gegebene Kähler-Metrik. Die Hodge-Nummern von X sind definiert durch h p q ( X ) = dim C H p q ( X
. Die Hodge-Zerlegung impliziert eine Zerlegung der Betti-Zahlen eines kompakten Kähler-Verteilers X in Bezug auf seine Hodge-Zahlen:
Die Hodge-Nummern einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit erfüllen mehrere Identitäten. Hodge-Symmetrie h p q = h q p ] gilt, weil das Laplacian ein echter Operator ist, und so . Die Identität h p q = h n - p n - q kann nachgewiesen werden, indem der Hodge-Sternoperator einen Isomorphismus angibt . Es folgt auch aus Serre duality.
Topologie kompakter Kähler-Mannigfaltigkeiten [ edit ]
Eine einfache Konsequenz der Hodge-Theorie ist, dass jede ungerade Betti-Nummer b 2 a +1 eines kompakten Kähler-Verteilers ist durch Hodge-Symmetrie gerade. Dies gilt nicht für kompakte komplexe Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen, wie das Beispiel der Hopf-Oberfläche zeigt, die diffeomorph zu S 1 × S 3 und damit ist hat b 1 = 1 .
Das "Kähler-Paket" ist eine Sammlung weiterer Einschränkungen der Kohomologie kompakter Kähler-Mannigfaltigkeiten, die auf der Hodge-Theorie aufbauen. Zu den Ergebnissen zählen der Lefschetz-Hyperebenen-Theorem, der harte Lefschetz-Theorem und die Hodge-Riemann-Bilinearbeziehungen. [8] Ein verwandtes Ergebnis ist, dass jede kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit formal im Sinne der Theorie der rationalen Homotopie ist. [9]
Die Frage, welche Gruppen grundlegende Gruppen kompakter Kähler-Mannigfaltigkeiten sein können, Kähler-Gruppen ist weit offen. Die Hodge-Theorie gibt viele Einschränkungen für die möglichen Kähler-Gruppen vor. [10] Die einfachste Einschränkung besteht darin, dass die Abelisierung einer Kähler-Gruppe einen geraden Rang haben muss, da die Betti-Zahl b 1 eines kompakten Kähler-Verteilers ist gerade (Zum Beispiel können die ganzen Zahlen Z nicht die grundlegende Gruppe einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit sein.) Erweiterungen der Theorie, wie die nicht-abelsche Hodge-Theorie, geben weitere Einschränkungen, welche Gruppen Kähler-Gruppen sein können.
Ohne die Kähler-Bedingung ist die Situation einfach: Clifford Taubes zeigte, dass jede endlich präsentierte Gruppe als grundlegende Gruppe eines kompakten komplexen Verteilers der Dimension 3 entsteht. [11] (Umgekehrt ist die grundlegende Gruppe eines geschlossenen Verteilers endlich vorgeführt.)
Charakterisierungen von komplexen projektiven Varietäten und kompakten Kähler-Mannigfaltigkeiten [ edit ]
Der Kodaira-Einbettungssatz beschreibt glatte komplexe projektive Varietäten unter allen kompakten Kähler-Mannigfaltigkeiten. Ein kompakter komplexer Verteiler X ist genau dann projektiv, wenn es eine Kähler-Form ω auf X gibt, dessen Klasse in H 2 ( X R ) ist im Bild der Gruppe der integralen Kohomologie H. 2 ( X Z ) . (Da ein positives Vielfaches einer Kähler-Form eine Kähler-Form ist, kann man sagen, dass X eine Kähler-Form hat, deren Klasse in H 2 X R ) ist in H 2 ( X Q ) ). X ist äquivalent, wenn und nur dann, wenn ein holomorphes Linienbündel vorhanden ist L am X mit einer hermitischen Metrik, deren Krümmungsform ω positiv ist (da ω ist dann eine Kähler-Form, die die erste Chern-Klasse von L in H 2 ( X Z ) darstellt. ).
Jede kompakte komplexe Kurve ist projektiv, aber bei einer komplexen Dimension von mindestens 2 gibt es viele kompakte Kähler-Verteiler, die nicht projiziert werden; Zum Beispiel sind die meisten kompakten komplexen Tori nicht projektiv. Man kann fragen, ob jeder kompakte Kähler-Krümmer zumindest durch eine stufenlose Variation der komplexen Struktur zu einer glatten Projektionsvielfalt verformt werden kann. Kunihiko Kodairas Arbeit zur Klassifizierung von Oberflächen impliziert, dass jeder kompakte Kähler-Verteiler der komplexen Dimension 2 tatsächlich zu einer glatten projek- tiven Vielfalt verformt werden kann. Claire Voisin stellte jedoch fest, dass dies in den Abmessungen mindestens 4 fehlschlug. Sie konstruierte eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit der komplexen Dimension 4, die nicht einmal eine Homotopie ist, die einer glatten komplexen projektiven Varietät entspricht. [12]
Man kann auch die Charakterisierung von kompakten Kähler-Verteilern unter allen kompakten komplexen Verteilern verlangen. In der komplexen Dimension 2 zeigten Kodaira und Yum-Tong Siu, dass eine kompakte komplexe Oberfläche nur dann eine Kähler-Metrik aufweist, wenn ihre erste Betti-Zahl gerade ist. [13] Daher ist "Kähler" eine rein topologische Eigenschaft für kompakte komplexe Oberflächen. Das Beispiel von Hironaka zeigt jedoch, dass dies in den Abmessungen mindestens 3 fehlschlägt. Im Einzelnen handelt es sich um eine 1-Parameter-Familie von glatten kompakten komplexen 3-fach-Komponenten, so dass die meisten Fasern Kähler (und sogar projektiv) sind, aber eine Faser nicht Kähler. Somit kann ein kompakter Kähler-Verteiler zu einem nicht-Kähler-komplexen Verteiler diffeomorph sein.
Kähler-Einstein-Mannigfaltigkeiten [ edit ]
Eine Kähler-Mannigfaltigkeit wird Kähler-Einstein genannt, wenn sie eine konstante Ricci-Krümmung hat. Äquivalent ist der Ricci-Krümmungstensor gleich einer Konstanten λ-mal dem Metriktensor, Ric = λg . Der Bezug zu Einstein stammt von der allgemeinen Relativitätstheorie, die in Abwesenheit von Masse behauptet, dass die Raumzeit eine 4-dimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeit mit einer Ricci-Krümmung von Null ist. Weitere Informationen finden Sie im Artikel über Einstein-Mannigfaltigkeiten.
Obwohl die Ricci-Krümmung für jede Riemannsche Mannigfaltigkeit definiert ist, spielt sie in der Kähler-Geometrie eine besondere Rolle: Die Ricci-Krümmung einer Kähler-Mannigfaltigkeit X kann als eine echte geschlossene (1,1) -Form betrachtet werden das repräsentiert c 1 ( X ) (die erste Chern-Klasse des Tangentenbündels) in H 2 ( X R ) . Daraus folgt, dass ein kompakter Kähler-Einstein-Verteiler X ein kanonisches Bündel K X aufweisen muss, entweder anti-ample, homologisch trivial oder reichlich, je nachdem, ob die Einstein-Konstante λ ist positiv, null oder negativ. Kähler-Mannigfaltigkeiten dieser drei Typen werden als Fano, Calabi-Yau oder mit einem umfangreichen kanonischen Bündel (was einen allgemeinen Typ impliziert) bezeichnet. Nach dem Kodaira-Einbettungssatz sind Fano-Mannigfaltigkeiten und Mannigfaltigkeiten mit einem großen kanonischen Bündel automatisch projizierende Varianten.
Shing-Tung Yau bewies die Calabi-Vermutung: Jede geschmeidige Projektionsvariante mit einem großen kanonischen Bündel hat eine Kähler-Einstein-Metrik (mit konstanter negativer Ricci-Krümmung), und jede Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit besitzt eine Kähler-Einstein-Metrik (mit Null-Ricci) Krümmung). Diese Ergebnisse sind wichtig für die Klassifizierung algebraischer Varietäten mit Anwendungen wie der Miyaoka-Yau-Ungleichung für Varietäten mit breitem kanonischem Bündel und der Beauville-Bogomolov-Zerlegung für Mannigfaltigkeiten von Calabi-Yau. [14]
Im Gegensatz dazu hat nicht jede glatte Fano-Sorte eine Kähler-Einstein-Metrik (die eine konstante positive Ricci-Krümmung hätte). Xiuxiong Chen, Simon Donaldson und Song Sun haben jedoch die Yau-Tian-Donaldson-Vermutung bewiesen: Eine glatte Fano-Varietät hat nur dann eine Kähler-Einstein-Metrik, wenn sie K-stabil ist, eine rein algebro-geometrische Bedingung.
Holomorphe Querschnittskrümmung [ edit ]
Die Abweichung eines Riemannschen Krümmers X von der Standardmetrik im euklidischen Raum wird durch die Querschnittskrümmung gemessen, die eine ist reelle Zahl, die einer realen 2-Ebene im Tangentenraum von X an einem Punkt zugeordnet ist. Beispielsweise variiert die Querschnittskrümmung der Standardmetrik auf CP n (für n ≥ 2 ) zwischen 1/4 und 1. Für einen Hermitianischen Mannigfaltigen ( B. ein Kähler-Krümmer), die holomorphe Querschnittskrümmung bedeutet die Querschnittskrümmung, die auf komplexe Linien im Tangentenraum beschränkt ist. Dies verhält sich einfacher, indem CP n eine holomorphe Querschnittskrümmung gleich 1 hat. Am anderen Extrem hat der offene Einheitsball in C n eine vollständige Kähler-Metrik mit holomorpher Querschnittskrümmung gleich -1. (Bei dieser Metrik wird der Ball auch als komplexer hyperbolischer Raum bezeichnet. .)
Die holomorphe Schnittkrümmung ist eng mit den Eigenschaften von X als komplexer Mannigfaltigkeit verbunden. Beispielsweise ist jeder Hermitianische Mannigfaltiger X mit holomorpher Querschnittskrümmung, die oben durch eine negative Konstante begrenzt ist, Kobayashis Hyperbol. [15] Daraus folgt, dass jede holomorphe Karte C → X ] ist konstant.
Ein bemerkenswertes Merkmal der komplexen Geometrie ist, dass die holomorphe Querschnittskrümmung auf komplexen Untermannigfaltigkeiten abnimmt. [16] (Gleiches gilt für ein allgemeineres Konzept, holomorphe bisektale Krümmung.) Zum Beispiel jede komplexe Untermannigfaltigkeit von C ] n (mit der induzierten Metrik aus C n ) hat eine holomorphe Querschnittskrümmung ≤ 0.
Beispiele [ edit ]
- Komplexer euklidischer Raum C n mit der standardmäßigen hermitischen Metrik ist ein kompakter komplexer Rumpf C n / Λ (Λ ein volles Gitter) erbt eine flache Metrik von der euklidischen Metrik auf C n und ist daher ein kompakter Kähler-Krümmer.
- Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit ist Kähler. (Tatsächlich ist ihre Holonomiegruppe in der Rotationsgruppe SO (2) enthalten, die der uneinheitlichen Gruppe U (1) entspricht.) Insbesondere ist eine orientierte Riemannsche 2-Mannigfaltigkeit eine kanonische komplexe Kurve; Dies ist als das Vorhandensein isothermer Koordinaten bekannt.
- Es gibt eine Standardauswahl der Kähler-Metrik im komplexen projizierten Raum CP n der Fubini-Study-Metrik. Eine Beschreibung betrifft die einheitliche Gruppe U ( n + 1) die Gruppe der linearen Automorphismen von C n +1 +1 die die bewahren Hermitianische Standardform. Die Fubini-Study-Metrik ist die einzigartige Riemannsche Metrik auf CP n (bis zu einem positiven Vielfachen), die unter der Wirkung von U [ n n + 1 invariant ist ) am CP n . Eine natürliche Verallgemeinerung von CP n wird durch die hermitischen symmetrischen Räume des kompakten Typs, wie etwa Grassmannian, bereitgestellt. Die natürliche Kähler-Metrik eines kompakten hermitianischen symmetrischen Raums hat eine Querschnittskrümmung von ≥ 0.
- Die induzierte Metrik eines komplexen Untermannigfaltigkeitsbereichs eines Kähler-Krümmers ist Kähler. Insbesondere ist jeder Stein-Krümmer (eingebettet in C n ) oder glatte projektive algebraische Varietät (eingebettet in CP n ) Kähler. Dies ist eine große Klasse von Beispielen.
- Die offene Einheitskugel B in C n hat eine vollständige Kähler-Metrik, die als Bergman-Metrik bezeichnet wird, mit einer holomorphen Querschnittskrümmung −1. Eine natürliche Verallgemeinerung des Balls wird durch die hermitianischen symmetrischen Räume des nicht kompakten Typs, beispielsweise den oberen Siegelraum von Siegel, gewährleistet. Jeder Hermitensymmetrische Raum X vom nichtkompakten Typ ist isomorph zu einer begrenzten Domäne in einigen C n und die Bergman-Metrik von X ist ein vollständiger Kähler Metrik mit Querschnittskrümmung ≤ 0.
- Jede K3-Oberfläche ist Kähler (von Siu). [13]
Siehe auch [ edit
- Cannas da Silva (2001) Definition 16.1
- Zheng (2000), Vorschlag 7.14
- Kobayashi & Nomizu (1996), v. 149.
- Moroianu (2007), Vorschlag 8.8
- ^ Zheng (2000), Abschnitt 7.4.
- Huybrechts (2005), Vorschlag 3.1.12. 19659600] ^ Huybrechts (2005), Korollar 3.2.12.
- ^ Huybrechts (2005), Abschnitte 3.3 und 5.2,
- Huybrechts (2005), Vorschlag 3.A. 28.
- ^ Amorós et al. (1996).
- ^ Amorós et al. (1996), Korollar 1,66.
- ^ Voisin (2004).
- ^ a b b [19659903] Barth et al. (2004), Abschnitt IV.3.
- ^ Zheng (2000), Korollar 9.8.
- ^ Zheng (2000), Lemma 9.14.
- Kobayashi & Nomizu ( 1996), V. 2, Proposition IX.9.2.
Literaturhinweise [ edit ]
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- Barth, Wolf P .; Hulek, Klaus; Peters, Chris A. M .; Van de Ven, Antonius (2004) [1984]Compact Complex SurfacesSpringer, doi:10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
- Cannas da Silva, Ana (2001), Lectures on Symplectic GeometryLecture Notes in Mathematics, 1764Springer, doi:10.1007/978-3-540-45330-7, ISBN 978-3540421955, MR 1853077
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994) [1978]. Prinzipien der algebraischen Geometrie . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 0507725.
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- Huybrechts, Daniel (2005), Complex Geometry: An IntroductionSpringer, ISBN 978-3-540-21290-4, MR 2093043
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996) [1969]Foundations of Differential Geometry2John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-15732-8, MR 1393941
- Moroianu, Andrei (2007), Lectures on Kähler GeometryLondon Mathematical Society Student Texts, 69Cambridge University Press, arXiv:math/0402223doi:10.1017/CBO9780511618666, ISBN 978-0-521-68897-0, MR 2325093
- Voisin, Claire (2004), "On the homotopy types of compact Kähler and complex projective manifolds", Inventiones Mathematicae157 (2): 329–343, arXiv:math/0312032Bibcode:2004InMat.157..329V, doi:10.1007/s00222-003-0352-1, MR 2076925
- Zheng, Fangyang (2000), Complex Differential GeometryAmerican Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2163-3, MR 1777835
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