In der Mathematik ist eine komplexe Differentialform eine Differentialform auf einem Krümmer (normalerweise ein komplexer Krümmer), die komplexe Koeffizienten haben darf.
Komplexe Formen haben breite Anwendungen in der Differentialgeometrie. Bei komplexen Mannigfaltigkeiten sind sie grundlegend und dienen als Grundlage für einen Großteil der algebraischen Geometrie, der Kähler-Geometrie und der Hodge-Theorie. Über nichtkomplexe Mannigfaltigkeiten spielen sie auch eine Rolle bei der Untersuchung fast komplexer Strukturen, der Spinortheorie und der CR-Strukturen.
In der Regel werden komplexe Formen betrachtet, da die Formen eine wünschenswerte Zersetzung zulassen. Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit kann zum Beispiel jede komplexe k -Form eindeutig in eine Summe sogenannter ( p q ) zerlegt werden. -Forms : ungefähr, Keile von p Differentialen der holomorphen Koordinaten mit q Differentialen ihrer komplexen Konjugate. Das Ensemble von ( p q ) - Formen wird zum primitiven Untersuchungsobjekt und bestimmt eine feinere geometrische Struktur auf der Mannigfaltigkeit als die k -Form. Sogar feinere Strukturen existieren zum Beispiel in Fällen, in denen die Hodge-Theorie gilt.
Differentialformen an einer komplexen Mannigfaltigkeit [ edit ]
Nehmen wir an, M ist eine komplexe Mannigfaltigkeit. Dann gibt es ein lokales Koordinatensystem bestehend aus n komplexwertigen Funktionen z 1 ..., z n so, dass die Koordinate übergeht ein Patch zum anderen sind holomorphe Funktionen dieser Variablen. Der Raum komplexer Formen besitzt eine reichhaltige Struktur, die grundsätzlich davon abhängt, dass diese Übergangsfunktionen eher holomorph sind als nur glatt.
One-Forms [ edit ]
Wir beginnen mit dem Fall der One-Forms. Zuerst zerlegen die komplexen Koordinaten in ihre Real- und Imaginärteile: z j = x j + iy j für jeden j . Vermieten
sieht man, dass jede differenzielle Form mit komplexen Koeffizienten eindeutig als Summe geschrieben werden kann
Es sei Ω 1,0 Raum komplexer Differentialformen, die nur s und Ω 0,1 enthalten, kann der Raum der Formen sein, die nur enthalten . Durch die Cauchy-Riemann-Gleichungen kann gezeigt werden, dass die Räume Ω 1,0 und Ω 0,1 unter holomorphen Koordinatenänderungen stabil sind. Wenn also eine andere Wahl getroffen wird w i des holomorphen Koordinatensystems, dann transformieren Elemente von Ω 1,0 ebenso wie Elemente von Ω 0,1 . So bestimmen die Räume Ω 0,1 und Ω 1,0 komplexe Vektorbündel auf der komplexen Mannigfaltigkeit.
Formen mit höherem Grad [ edit ]
Das Keilprodukt komplexer Differentialformen wird wie bei realen Formen definiert. p und q sei ein Paar nichtnegativer Ganzzahlen ≤ n . Der Raum Ω p, q von ( p q ) - Formen wird definiert, indem lineare Kombinationen der Keilprodukte von p Elemente aus Ω 1,0 und q Elemente aus Ω 0,1 . Symbolisch
wo p Faktoren von Ω 1,0 und q q Faktoren von Ω 0,1 sind. Genau wie bei den beiden Räumen von 1-Formen sind diese unter holomorphen Koordinatenänderungen stabil und bestimmen so Vektorbündel.
Wenn E k der Raum aller komplexen Differentialformen des Gesamtgrads k ist, dann ist jedes Element von E ] k kann auf einzigartige Weise als lineare Kombination von Elementen aus den Räumen Ω p, q mit p + q = ausgedrückt werden. k . Prägnanter ist eine direkte Summenzerlegung
Da diese direkte Summenzerlegung bei holomorphen Koordinatenänderungen stabil ist, bestimmt sie auch eine Vektorbündelzerlegung.
Insbesondere für jeden k und jeweils p und q mit p + q = k gibt es eine kanonische Projektion von Vektorbündeln
Die Dolbeault-Operatoren
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Die übliche äußere Ableitung definiert eine Zuordnung von Abschnitten via
Die äußere Ableitung spiegelt an sich nicht die starrere komplexe Struktur der Mannigfaltigkeit wider .
Unter Verwendung von d und den im vorherigen Unterabschnitt definierten Projektionen ist es möglich, die Dolbeault-Operatoren zu definieren:
Um diese Operatoren in lokalen Koordinaten zu beschreiben, lassen Sie uns
wobei I und J Multi-Indizes sind. Dann "/>
] = ∑ | I | | J 19659350] 19659350] 19659350] I J d z I [1945 d z J {19659046] {19659046]. bar { partial}} alpha = sum _ {| I |, | J |} sum _ { ell} { frac { partial f_ {IJ}} { partial { bar {z}} ^ { ell}}} d { bar {z}} ^ { ell} keil dz ^ {I} keil d { bar {z}} ^ {J}.}
Folgende Eigenschaften sind zu sehen zu h alt:
- und viele Aspekte der Hodge-Theorie.
Holomorphe Formen [ edit ]
Für jede p ist eine holomorphe p -Form -Form Abschnitt des Bündels Ω p, 0 . In lokalen Koordinaten kann also eine holomorphe p -Form in die Form geschrieben werden
wobei holomorphe Funktionen sind. Äquivalent ist die ( p 0) -Form α genau dann holomorph, wenn
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit ]
![partial ^ {2} = { bar { partial}} ^ {2} = partial { bar { partial}} + { bar { partial}} partial = 0. [19659048] Diese Operatoren und ihre Eigenschaften bilden die Grundlage für die Dolbeault-Kohomologie <a href=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058a54feb378f7f28f0a211b98a963dea33ec379)
und viele Aspekte der Hodge-Theorie.
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