Newtonsche Flüssigkeit - Wikipedia

A Newtonsche Flüssigkeit ist eine Flüssigkeit, in der die viskosen Spannungen, die von ihrem Fluss ausgehen, an jedem Punkt linear ^[1] proportional zu der lokalen Dehnungsrate sind - der Änderungsgeschwindigkeit ihrer Verformung über die Zeit Dies ist gleichbedeutend damit, dass diese Kräfte proportional zu den Änderungsgeschwindigkeiten des Geschwindigkeitsvektors des Fluids sind, wenn man sich in verschiedenen Richtungen vom fraglichen Punkt wegbewegt.

Genauer gesagt, ein Fluid ist nur dann Newtonsches, wenn die Tenside, die die viskose Spannung und die Dehnungsrate beschreiben, durch einen konstanten Viskositätstensor in Beziehung gesetzt werden, der nicht von dem Spannungszustand und der Strömungsgeschwindigkeit abhängt. Wenn das Fluid auch isotrop ist (dh seine mechanischen Eigenschaften sind in jeder Richtung gleich), verringert sich der Viskositätstensor auf zwei reelle Koeffizienten, was die Beständigkeit des Fluids gegenüber einer kontinuierlichen Scherdeformation und einer kontinuierlichen Kompression bzw. Expansion beschreibt.

Newtonsche Flüssigkeiten sind die einfachsten mathematischen Modelle von Flüssigkeiten, die die Viskosität berücksichtigen. Während keine echte Flüssigkeit perfekt in die Definition passt, können viele gängige Flüssigkeiten und Gase wie Wasser und Luft für die praktischen Berechnungen unter normalen Bedingungen als Newton bezeichnet werden. Nicht-Newtonsche Flüssigkeiten sind jedoch relativ häufig und umfassen Oobleck (das bei starker Scherung steifer wird) oder nicht tropfende Farbe (die bei Scherung dünner wird). Andere Beispiele umfassen viele Polymerlösungen (die den Weissenberg-Effekt zeigen), geschmolzene Polymere, viele feste Suspensionen, Blut und höchst viskose Flüssigkeiten.

Newtonsche Flüssigkeiten werden nach Isaac Newton benannt, der zuerst die Differentialgleichung verwendete, um die Beziehung zwischen der Schubspannungsrate und der Schubspannung für solche Flüssigkeiten zu postulieren.

Definition [ edit ]

Ein Element einer strömenden Flüssigkeit oder eines Gases erfährt Kräfte aus der umgebenden Flüssigkeit, einschließlich viskoser Belastungskräfte, die sich im Laufe der Zeit allmählich verformen. Diese Kräfte können durch einen viskosen Spannungstensor, der üblicherweise mit ${ displaystyle tau}$ bezeichnet wird, mathematisch erster Ordnung angenähert werden.
Die Verformung dieses Fluidelements relativ zu einem früheren Zustand kann durch einen sich mit der Zeit ändernden Dehnungstensor der ersten Ordnung angenähert werden. Die zeitliche Ableitung dieses Tensors ist der Dehnungsgeschwindigkeits-Tensor, der ausdrückt, wie sich die Verformung des Elements mit der Zeit ändert. und ist auch der Gradient des Geschwindigkeitsvektorfelds ${ displaystyle v}$ an diesem Punkt, häufig als ${ displaystyle bezeichnet. nabla v}$.

Die Tensoren ${\displaystyle \mathrm{\tau \; <!--\; \tau \; -->}}$ und ${19659016]$ kann durch 3 × 3 -Matrizen relativ zu einem beliebigen Koordinatensystem ausgedrückt werden. Die Flüssigkeit wird als Newton bezeichnet, wenn diese Matrizen durch die Gleichung miteinander verbunden sind
${193] = mathbf { tau} = mathbf { mu} ( nabla.) v)}$
Dabei ist ${ displaystyle mu}$ ein fester 3 × 3 × 3 × 3-Tensor vierter Ordnung, der nicht von der Geschwindigkeit oder dem Spannungszustand von abhängt die Flüssigkeit

Inkompressibler isotroper Fall [ edit ]

Bei einer inkompressiblen und isotropen Newtonschen Flüssigkeit hängt die viskose Spannung mit der Dehnungsrate durch die einfachere Gleichung zusammen

${[displaystyle tau = mu { frac {du} {dy}}}]$

wobei

${ displaystyle tau}$ ist die Schubspannung ("Zug") in der Flüssigkeit,

${ displaystyle mu}$ ist eine skalare Konstante der Proportionalität, die Scherviskosität

${\displaystyle \frac{du}{dy}}$ ist der Ableitung der Geschwindigkeitskomponente, die parallel zur Scherrichtung ist, relativ zur Verschiebung in senkrechter Richtung.

Wenn die Flüssigkeit nicht komprimierbar ist und die Viskosität über die Flüssigkeit konstant ist, kann diese Gleichung in Form eines beliebigen Koordinatensystems geschrieben werden wie

${ displaystyle tau _ {ij} = mu left ({ frac { partial v_ {i}} { partial x_ {j}}} + { frac { partial v_ {j}} { partial x_ {i}}} right)}$

wobei

${ displaystyle x_ {j}}$ ist das $j$ Die räumliche Koordinate

${ displaystyle v_ {i}}$ ist die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Richtung der Achse ${ displaystyle i}$

${\displaystyle {\mathrm{\tau \; <!--\; \tau \; -->}}_{ij}}$ ist die ${ displaystyle j}$ -te Komponente der auf die Flächen des Fluidelements senkrecht zur Achse wirkenden Belastung ${ displaystyle i}$

Man definiert auch einen Gesamtspannungstensor ${ displaystyle mathbf { sigma}}$das die Scherbeanspruchung mit herkömmlichem (thermodynamischem) Druck kombiniert ${ displaystyle p}$. Die Stress-Scher-Gleichung wird dann

${ displaystyle mathbf { sigma} _ {ij} = - p delta _ {ij} + mu left ({ frac { partial v_ {i }} { partial x_ {j}}} + { frac { partial v_ {j}} { partial x_ {i}}} right)}$

oder in kompakterer Tensor-Tensornotation geschrieben

${ displaystyle mathbf { sigma} = -p mathbf {I} + mu left ( nabla mathbf {v} + nabla mathbf {v} ^ {T} right)}$

wobei ${ displaystyle mathbf {I}}$ der ist Identitätstensor.

Für anisotrope Flüssigkeiten [ edit ]

. Allgemeiner ausgedrückt, in einer nicht-isotropen Newtonschen Flüssigkeit ist der Koeffizient [1965944] u {[displaystyle mu] das die inneren Reibungsspannungen auf die räumlichen Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes bezieht, wird durch einen neunelementigen viskosen Spannungstensor $ersetzt. displaystyle mu _ {ij}}$.

Es gibt eine allgemeine Formel für die Reibungskraft in einer Flüssigkeit: Das Vektordifferential der Reibungskraft ist gleich dem Viskositätstensor, der auf dem Vektorproduktdifferential des Flächenvektors der angrenzenden Flüssigkeitsschichten und des Rotors der Geschwindigkeit erhöht wird:

${ displaystyle mu _ {ij}}$