Reine Mathematik ist das Studium mathematischer Konzepte unabhängig von irgendwelchen Anwendung außerhalb der Mathematik. Diese Konzepte können aus der Praxis stammen und die erzielten Ergebnisse können sich später für praktische Anwendungen als nützlich erweisen. Die reinen Mathematiker sind jedoch nicht in erster Linie durch solche Anwendungen motiviert. Stattdessen wird der Reiz auf die intellektuelle Herausforderung und die ästhetische Schönheit der Erarbeitung der logischen Konsequenzen von Grundprinzipien zurückgeführt.
Während die reine Mathematik schon seit mindestens dem antiken Griechenland als Aktivität existiert, wurde das Konzept um das Jahr 1900 herum entwickelt, [1] nach Einführung von Theorien mit kontraintuitiven Eigenschaften (z. B. nicht-euklidische Geometrien und Cantors Theorie) unendlicher Mengen) und die Entdeckung scheinbarer Paradoxien (wie kontinuierliche Funktionen, die sich nirgendwo unterscheiden lassen, und Russells Paradoxon). Dies führte zu der Notwendigkeit, das Konzept der mathematischen Strenge zu erneuern und die gesamte Mathematik mit einem systematischen Einsatz axiomatischer Methoden entsprechend umzuschreiben. Dies hat viele Mathematiker dazu veranlasst, sich auf Mathematik zu konzentrieren, das heißt, reine Mathematik.
Trotzdem blieben fast alle mathematischen Theorien durch Probleme aus der realen Welt oder aus weniger abstrakten mathematischen Theorien motiviert. Außerdem wurden viele mathematische Theorien, die scheinbar reine Mathematik zu sein schien, schließlich in angewandten Bereichen eingesetzt, hauptsächlich in der Physik und der Informatik. Ein berühmtes frühes Beispiel ist Isaac Newtons Demonstration, dass sein Gesetz der universellen Gravitation implizierte, dass sich Planeten in kegelförmigen Umlaufbahnen bewegen, geometrischen Kurven, die Apollonius in der Antike untersucht hatte. Ein anderes Beispiel ist das Problem der Faktorisierung großer Zahlen, die die Basis des RSA-Kryptosystems bildet, das häufig zur Sicherung der Internetkommunikation verwendet wird.
Daraus folgt, dass die Unterscheidung zwischen reiner und angewandter Mathematik gegenwärtig eher eine philosophische Sichtweise oder eine Vorliebe eines Mathematikers ist als eine starre Unterteilung der Mathematik. Insbesondere ist es nicht ungewöhnlich, dass sich einige Mitglieder einer Fakultät für angewandte Mathematik als reine Mathematiker bezeichnen.
Geschichte [ edit ]
Das antike Griechenland [ edit
Die antiken griechischen Mathematiker waren unter den ersten, die zwischen rein und unterscheiden konnten angewandte Mathematik. Platon half, die Lücke zwischen "Arithmetik", jetzt Zahlentheorie genannt, und "Logistik", jetzt Arithmetik genannt, zu schaffen. Platon betrachtete Logistik (Arithmetik) als angemessen für Geschäftsleute und Kriegsleute, die "die Kunst der Zahlen lernen müssen oder [they] nicht wissen können, wie man [their] Truppen anordnet" und Arithmetik (Zahlentheorie) für Philosophen geeignet ", weil [they have] aus dem Meer des Wandels aufstehen und das wahre Sein ergreifen. "[2] Als Euklid von Alexandria von einem seiner Schüler nach dem Nutzen der Geometriestudie gefragt wurde, bat er seinen Sklaven, dem Schüler eine Dreiergruppe zu geben. "da muss er von dem lernen, was er lernt." [3] Der griechische Mathematiker Apollonius von Perga wurde nach der Nützlichkeit einiger seiner Theoreme in Buch IV von Conics gefragt, auf das er stolz behauptete [4]
Sie sind für die Demonstrationen selbst würdig, so wie wir aus diesem Grund und aus keinem anderen Grund viele andere Dinge in der Mathematik akzeptieren.
Und da viele seiner Ergebnisse auf die Wissenschaft oder Wissenschaft nicht anwendbar waren Technik seiner Zeit, Apollonius furthe Im Vorwort des fünften Buches von Conics argumentierte er, dass das Thema eines der Themen ist, die "... für ihre eigenen Zwecke studiert zu werden scheinen" [4]
19. Jahrhundert [ ] edit ]
Der Begriff selbst ist im vollständigen Titel des Sadleirian Chair, der Mitte des 19. Jahrhunderts (als Professur) gegründet wurde, verankert. Die Idee einer separaten Disziplin der reinen Mathematik mag damals entstanden sein. Die Generation von Gauß machte keine weitreichende Unterscheidung der Art, zwischen rein und angewendet . In den folgenden Jahren machte sich die Spezialisierung und Professionalisierung (insbesondere in der mathematischen Analyse nach Weierstraß) bemerkbar.
20. Jahrhundert [ edit ]
Zu Beginn des 20. Jahrhunderts nahmen Mathematiker die von David Hilberts Beispiel stark beeinflusste axiomatische Methode auf. Die logische Formulierung von der reinen Mathematik die Bertrand Russell in Bezug auf eine Quantifiziererstruktur von Sätzen vorschlug, erschien immer plausibler, als große Teile der Mathematik axiomatisiert wurden und daher den einfachen Kriterien des strengen Beweises unterliegen .
In einer axiomatischen Umgebung fügt rigoroses der Idee des Beweises nichts hinzu. Bewiesen ist die reine Mathematik nach einer Ansicht, die der Bourbaki-Gruppe zuzuschreiben ist. Der reine Mathematiker wurde zu einer anerkannten Berufung, die durch Training erreicht werden konnte.
Es wurde der Fall gemacht, dass reine Mathematik in der Ingenieurausbildung nützlich ist: [5]
- Es gibt eine Ausbildung in Denkgewohnheiten, Sichtweisen und intellektuellem Verständnis gewöhnlicher Ingenieurprobleme, die nur das Studium der höheren Mathematik vermitteln kann.
Generalität und Abstraktion [ edit ]
Ein zentraler Begriff in der reinen Mathematik ist die Idee der Allgemeinheit. Die reine Mathematik zeigt oft einen Trend zu einer zunehmenden Allgemeinheit. Zu den Anwendungen und Vorteilen der Allgemeinheit gehören:
- Verallgemeinerung von Theoremen oder mathematischen Strukturen kann zu einem tieferen Verständnis der ursprünglichen Theoreme oder Strukturen führen.
- Generalität kann die Darstellung von Material vereinfachen, was zu kürzeren Beweisen oder Argumenten führt, die leichter zu folgen sind.
- vermeiden Sie doppelte Anstrengungen, beweisen Sie ein allgemeines Ergebnis, anstatt einzelne Fälle unabhängig beweisen zu müssen, oder verwenden Sie Ergebnisse aus anderen Bereichen der Mathematik.
- Die Allgemeinheit kann Verbindungen zwischen verschiedenen Zweigen der Mathematik erleichtern. Die Kategorietheorie ist ein Bereich der Mathematik, der sich mit der Erforschung dieser Gemeinsamkeit der Struktur befasst, wie sie in einigen Bereichen der Mathematik zum Tragen kommt.
Der Einfluss der Allgemeinheit auf die Intuition hängt sowohl vom Thema als auch von der persönlichen Vorlieben oder vom Lernstil ab. Oft wird die Allgemeinheit als Hindernis für die Intuition angesehen, obwohl sie sicherlich als Hilfsmittel für sie dienen kann, insbesondere wenn sie Analogien zu Material bietet, für das man bereits eine gute Intuition hat.
Als herausragendes Beispiel für die Allgemeinheit beinhaltete das Erlanger Programm eine Erweiterung der Geometrie, um nicht-euklidische Geometrien sowie das Gebiet der Topologie und andere Formen der Geometrie aufzunehmen, indem Geometrie als Untersuchung eines Raums zusammen mit a betrachtet wurde Gruppe von Transformationen. Das Studium der Zahlen, anfangs als Algebra bezeichnet, erstreckt sich auf abstraktere Algebra auf fortgeschrittenem Niveau. und das Studium von Funktionen, auf der Ebene des College-Neulings Kalkül genannt, wird auf fortgeschrittenem Niveau zu mathematischer Analyse und Funktionsanalyse. Jeder dieser Zweige der mehr abstrakten abstrakten Mathematik hat viele Unterspezialitäten, und es gibt tatsächlich viele Verbindungen zwischen reiner Mathematik und angewandten Mathematikdisziplinen. Ein steiler Anstieg der Abstraktion wurde Mitte des 20. Jahrhunderts beobachtet.
In der Praxis führten diese Entwicklungen jedoch zu einer starken Abweichung von der Physik, insbesondere von 1950 bis 1983. Später wurde dies beispielsweise von Vladimir Arnold als zu viel Hilbert kritisiert, zu wenig Poincaré. Der Punkt scheint noch nicht geklärt zu sein, indem die Stringtheorie in eine Richtung zieht, während die diskrete Mathematik zum Beweis als zentral zurückkehrt.
Mathematiker hatten immer unterschiedliche Meinungen hinsichtlich der Unterscheidung zwischen reiner und angewandter Mathematik.
Eines der berühmtesten (aber möglicherweise missverstandenen) modernen Beispiele dieser Debatte findet sich in G.H. Hardys Die Apologie eines Mathematikers .
Es wird allgemein angenommen, dass Hardy angewandte Mathematik für hässlich und stumpf hielt. Obwohl es stimmt, dass Hardy die reine Mathematik vorgezogen hat, die er oft mit Malerei und Poesie vergleicht, sah Hardy den Unterschied zwischen reiner und angewandter Mathematik einfach darin, dass die angewandte Mathematik die Wahrheit in einem mathematischen Rahmen ausdrücken wollte. während die reine Mathematik Wahrheiten ausdrückt, die von der physischen Welt unabhängig waren. Hardy unterschied in der Mathematik eine getrennte Unterscheidung zwischen dem, was er als "echte" Mathematik bezeichnete, "die einen dauerhaften ästhetischen Wert hat" und "den stumpfen und elementaren Teilen der Mathematik", die in der Praxis von Nutzen sind.
Hardy betrachtete einige Physiker wie Einstein und Dirac als "echte" Mathematiker, aber zu der Zeit, als er die Apology schrieb, betrachtete er auch die allgemeine Relativitätstheorie und die Quantenmechanik "nutzlos", was ihm erlaubte, die Meinung zu vertreten, dass nur "stumpfe" Mathematik nützlich sei. Darüber hinaus gab Hardy kurz zu, dass - genau wie die Anwendung der Matrixtheorie und der Gruppentheorie auf die Physik unerwartet gekommen war - die Zeit kommen könnte, in der einige Arten von schöner, "echter" Mathematik ebenfalls nützlich sein können.
Eine andere aufschlussreiche Sicht bietet Magid:
Ich habe immer gedacht, dass ein gutes Modell hier aus der Ringtheorie abgeleitet werden könnte. In diesem Fach gibt es die Teilbereiche der kommutativen Ringtheorie und der nichtkommutativen Ringtheorie. Ein nicht informierter Beobachter mag denken, dass diese eine Dichotomie darstellen, aber letztere subsumiert die erstere: Ein nichtkommutativer Ring ist ein nicht notwendigerweise kommutativer Ring. Wenn wir ähnliche Konventionen verwenden, können wir uns auf angewandte Mathematik und nicht angewandte Mathematik beziehen, wobei wir mit letzterer nicht notwendigerweise angewandte Mathematik meinen ... [emphasis added][6]
Siehe auch [ ]
Referenzen [ Bearbeiten ]
- ^ Piaggio, HTH, "Sadleirian Professors", in O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F., MacTutor Archiv der Geschichte der Mathematik Universität St Andrews
- ^ Boyer, Carl B. (1991). "Das Zeitalter von Platon und Aristoteles". Eine Geschichte der Mathematik (2. Aufl.). John Wiley & Sons, Inc. p. 86. ISBN 0-471-54397-7.
Platon ist in der Geschichte der Mathematik von größter Bedeutung für seine Rolle als Inspirator und Regisseur anderer, und vielleicht liegt es auch an ihm, dass im antiken Griechenland der Unterschied zwischen der Arithmetik (im Sinne der Zahlentheorie) und der Logistik (der Berechnungstechnik). Platon betrachtete die Logistik als angemessen für den Geschäftsmann und für den Kriegsmann, der "die Zahlenkunst erlernen muss, sonst weiß er nicht, wie er seine Truppen anordnen soll". Der Philosoph hingegen muss ein Arithmetiker sein, "weil er aus dem Meer der Veränderung herauskommen und das wahre Sein ergreifen muss". Boyer, Carl B. (1991). "Euklid von Alexandria". Eine Geschichte der Mathematik (2. Aufl.). John Wiley & Sons, Inc. p. 101. ISBN 0-471-54397-7.
Offensichtlich hat Euklid die praktischen Aspekte seines Themas nicht betont, denn es wird erzählt, dass einer seiner Schüler nach dem Nutzen der Geometriestudien fragte, dass Euklid seinen Sklaven bat, dem Schüler drei Rechte zu geben. " da muss er das erlernen, was er lernt. "
- ^ a b Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius von Perga". Eine Geschichte der Mathematik (2. Aufl.). John Wiley & Sons, Inc. p. 152. ISBN 0-471-54397-7.
In Zusammenhang mit den Theoremen in diesem Buch gibt Apollonius eine Erklärung ab, die darauf hinweist, dass es zu seiner Zeit wie in unserer Zeit engstirnige Gegner der reinen Mathematik gab, die sich nach dem Nutzen solcher Ergebnisse erkundigten. Der Autor behauptete stolz: "Sie sind der Demonstration zuliebe würdig, so wie wir viele andere Dinge in der Mathematik aus diesem und aus keinem anderen Grund akzeptieren." (Heath 1961, S. lxxiv).
Das Vorwort zu Buch V, das sich auf die maximalen und minimalen geraden Linien bezieht, die zu einem Kegelschnitt gezogen werden, führt erneut an, dass das Thema eines der Themen ist, die "studienwürdig erscheinen". " Während man den Autor für seine erhabene intellektuelle Haltung bewundern muss, kann man zutreffend darauf hinweisen, dass der Tag eine schöne Theorie war und keine Aussicht auf die Anwendbarkeit auf die Wissenschaft oder das Ingenieurwesen seiner Zeit bestand, seither ist er auf Gebieten wie der Erddynamik und der Erdatmosphäre grundlegend geworden Himmelsmechanik. - ^ A. S. Hathaway (1901) "Reine Mathematik für Ingenieurstudenten", Bulletin der American Mathematical Society 7 (6): 266–71.
- ^ Andy Magid (November 2005) Brief des Herausgebers, Mitteilungen des American Mathematical Society, Seite 1173
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