In der Mathematik wird eine kubische cuspidal kubische oder semikubische Parabel als algebraische Ebenenkurve definiert
durch eine Gleichung der Form
- (A)
Die Lösung für führt zur expliziten Form .
- (E1) .)
Lösen (A) für
![x 19659025] ergibt die zweite <i> explizite Form </i><br/></p><br/><ul><li><b> (E2) </b> <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
Gleichung (A) zeigt, dass
- (P)
ist eine parametrische Darstellung der Kurve. [1]
Die Bogenlänge der Kurve wurde vom englischen Mathematiker William Neile berechnet und 1657 veröffentlicht (siehe Abschnitt Geschichte). [2].
Eigenschaften von semikubischen Parabeln [ edit ]
Ähnlichkeit [ edit ]
- Beliebige semikubische Parabel ist ähnlich zur semikubischen Einheitsparabel (einheitliche Skalierung) bildet die semikubische Parabel ab auf die Kurve mit .
Singularity [ edit ]
- Die parametrische Darstellung ist ] regulär mit Ausnahme von an Punkt hat die Kurve einen [19659211] Singularität (Höhepunkt).
Der Beweis folgt aus dem Tangentenvektor . Nur für hat dieser Vektor eine Länge von Null.
Tangente an einer semikubischen ParabelTangents [ edit ]
Differenzierung der semikubischen Einheitsparabel wird an Punkt des oberen verzweigt die Gleichung der Tangente:
Dieser Tangens schneidet den Zweig Lower an genau einem weiteren Punkt mit Koordinaten [3]
0 [19659273] 8 ) . { displaystyle { Big (} { frac {x_ {0}} {4}}, - { frac {y_ {0}} {8}} { Big)} ;.} zweimal.)Bogenlänge [ edit ]
Bestimmung der Bogenlänge einer Kurve muss das Integral gelöst werden . Für die semikubische Parabel wird erhalten
(Die Integra l kann gelöst werden durch die Substitution von .)
Beispiel: Für (halbkubische Einheitsparabel) und was die Länge des Bogens zwischen Ursprung und Punkt bedeutet
4 ] 8 ) { displaystyle (4,8)} man erhält die BogenlängeEntwicklung der Einheit Parabel [ edit ]
- Die Entwicklung der Parabel ist eine um 1 verschobene semikubische Parabel / 2 entlang der x-Achse:
Polarkoordinaten [ bearbeiten ]
Um die Darstellung der semikubischen Parabel zu erhalten in Polarkoordinaten bestimmt man den Schnittpunkt der Linie mit der Kurve. Für gibt es einen Punkt, der sich vom Ursprung unterscheidet: . Dieser Punkt hat einen Abstand vom Ursprung aus. Mit und (siehe Liste der Identitäten), man erhält [4]
- <img src = "https: // wikimedia .org / api / rest_v1 / media / math / render / svg / 6e56809c60d94c378674dfff68a506602031986e "class =" mwe-math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -1.838ex; Breite: 42.715ex; height: 5.176ex; "alt =" { displaystyle r = { groß (} { frac { tan varphi} {a}} { Big)} ^ {2} cdot sec varphi ;, quad - pi / 2 < varphi
Beziehung zwischen einer semikubischen Parabel und einer kubischen Funktion [ ]
Kartierung der semikubischen Parabel durch die Projektionskarte (involutorische Perspektivität mit der Achse und Mitte ) ergibt ]daher die kubische Funktion . Der Scheitelpunkt (Ursprung) der semikubischen Parabel wird mit dem Punkt im Unendlichen der y-Achse ausgetauscht.
Diese Eigenschaft kann auch abgeleitet werden, wenn man die semikubische Parabel durch homogene Koordinaten repräsentiert : In Gleichung (A) der Ersatz (die Zeile im Unendlichen hat Gleichung .) und die Multiplikation mit wird ausgeführt. Man erhält die Gleichung der Kurve
- in homogene Koordinaten :
Auswahlzeile als Zeile bei unendlich und einführend ergibt die (affine) Kurve .
Isochrone-Kurve [ edit ]
Eine weitere definierende Eigenschaft der semikubischen Parabel ist, dass es sich um eine -Isochrone-Kurve handelt, was bedeutet, dass ein Partikel folgt Sein Weg, während er durch die Schwerkraft heruntergezogen wird, durchläuft gleiche vertikale Intervalle in gleichen Zeiträumen. Auf diese Weise ist es mit der Tautochronenkurve verknüpft, für die Partikel an verschiedenen Startpunkten immer gleich lange brauchen, um den Boden zu erreichen, und mit der Brachistochronkurve. Diese Kurve minimiert die Zeit, die ein fallendes Partikel von seinem Anfang bis zum Transport benötigt sein Ende.
Geschichte [ edit ]
Die semikubische Parabel wurde 1657 von William Neile entdeckt, der seine Bogenlänge berechnete. Obwohl die Längen einiger anderer nichtalgebraischer Kurven einschließlich der logarithmischen Spirale und des Zykloids bereits berechnet worden waren (dh diese Kurven wurden korrigiert), war die semikubische Parabel die erste algebraische Kurve (mit Ausnahme der Linie und der Linie) zu korrigieren. [1] [ umstritten (für: Es scheint, als seien Parabel und andere konische Abschnitte vor langer Zeit gleichgerichtet worden).
. 19659093] [ edit ]
- ^ a b Pickover, Clifford A. (2009), "Die Länge von Neiles Semicubical Parabola ", Das mathematische Buch: Von Pythagoras zur 57. Dimension, 250 Meilensteine in der Geschichte der Mathematik Sterling Publishing Company, Inc., p. 148, ISBN 9781402757969 .
- ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S. 2
- August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten S.26
- ^ August Pein: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten p. 10
Externe Links [ edit ]
![{19659106] {19659106] { t ^ {2}, at ^ {3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8b3bfd0ae1bc03b11fe5ca9b1bf2d0f801b5d9)
![(0,0) [19659049]. Am Punkt <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a)
![{ displaystyle ; y = pm x ^ { frac {3} {2}} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c0f0c4a1aff06997ff5e7a3ab02ba27758d7f4)
![{ displaystyle int _ {0} ^ {b} { sqrt {x '(t) ^ {2} + y' (t) ^ {2}}} ; dt = int _ {0} ^ {b} t { sqrt {4 + 9a ^ {2} t ^ {2 }}} ; dt = cdots = { Big [}{frac {1}{27a^{2}}}(4+9a^{2}t^{2})^{frac {3}{2}}{Big ]} _ {0} ^ {b} ;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda246771d5b9e35a4ff441dad3a50b74ab4352a)
man erhält die Bogenlänge 
![{ displaystyle (x, y) rightarrow ({ tfrac {x} {y}}, { tfrac {1} {y}})]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7659634a82eaeae57436528cfcaa97dd5faac6ee)
![{ displaystyle quad x_ {3} x_ {2} ^ {2} -x_ {1} ^ {3} = 0 ].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0e2380530df0080ab300c026d509a216f17c5e)
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