Eine Tessellation einer ebenen Fläche ist das Kacheln einer Ebene unter Verwendung einer oder mehrerer geometrischer Formen, die als Fliesen bezeichnet werden, ohne Überlappungen und keine Lücken. In der Mathematik können Tessellationen auf höhere Dimensionen und verschiedene Geometrien verallgemeinert werden.
Eine periodische Kachelung hat ein sich wiederholendes Muster. Einige spezielle Arten umfassen regelmäßige Fliesen mit regelmäßigen polygonalen Fliesen, die alle die gleiche Form haben, und halbkreisförmige Fliesen mit regelmäßigen Fliesen mit mehr als einer Form und mit jeder Ecke, die identisch angeordnet ist. Die durch periodische Kacheln gebildeten Muster können in 17 Hintergrundgruppen eingeteilt werden. Eine Kachelung, der ein sich wiederholendes Muster fehlt, wird als "nicht periodisch" bezeichnet. Bei aperiodischen Kacheln werden kleine Kacheln verwendet, die kein sich wiederholendes Muster bilden können. In der Geometrie höherer Dimensionen wird eine raumfüllende Wabe auch als Tessellation of Space bezeichnet.
Eine echte physische Tesselation ist eine Verfliesung aus Materialien wie z. B. Keramik-Quadraten oder Sechsecken. Solche Verkleidungen können dekorative Muster sein oder können Funktionen aufweisen, wie beispielsweise dauerhafte und wasserbeständige Beläge für Bodenbeläge, Boden oder Wand. Historisch wurden Tessellationen im antiken Rom und in der islamischen Kunst verwendet, wie zum Beispiel bei der dekorativen geometrischen Verfliesung des Alhambra-Palastes. Im zwanzigsten Jahrhundert nutzten die Arbeiten von M. C. Escher häufig Tessellationen, sowohl in der gewöhnlichen euklidischen Geometrie als auch in der hyperbolischen Geometrie, um künstlerisch zu wirken. Manchmal werden Tessellationen für dekorative Effekte beim Quilten eingesetzt. Tessellationen bilden in der Natur eine Klasse von Mustern, zum Beispiel in den Reihen von hexagonalen Zellen, die in Waben gefunden werden.
Geschichte [ edit ]
Ein Tempelmosaik aus der antiken sumerischen Stadt Uruk IV (3400–3100 v. Chr.), Das ein Tessellationsmuster in gefärbten Kacheln zeigt
Tessellations wurden verwendet von den Sumerern (ca. 4000 v.Chr.) beim Bau von Wanddekorationen, die aus Mustern aus Tonziegeln gebildet wurden. [1]
Dekorative Mosaikfliesen aus kleinen quadratischen Blöcken, Tesserae genannt, waren in der klassischen Antike weit verbreitet. [19659009] manchmal mit geometrischen Mustern [3] [4]
Im Jahre 1619 machte Johannes Kepler eine erste dokumentierte Studie über Tessellationen. Er schrieb in seinen Harmonices Mundi über regelmäßige und halbstarre Tessellationen; Er war möglicherweise der erste, der die sechseckigen Strukturen von Waben und Schneeflocken erforschte und erläuterte. [5]
Etwa zweihundert Jahre später, im Jahr 1891, bewies der russische Kristallograph Yevgraf Fyodorov, dass jedes periodische Kacheln der Ebene eine von siebzehn verschiedenen Isometrie-Gruppen aufweist [8][9] Die Arbeit von Fjodorow war der inoffizielle Beginn der mathematischen Untersuchung von Tessellationen. Andere prominente Mitwirkende sind Aleksei Shubnikov und Nikolai Belov (1964), [10] und Heinrich Heesch und Otto Kienzle (1963). [11]
Etymology [
] tessella ist ein kleines kubisches Stück aus Ton, Stein oder Glas, aus dem Mosaike hergestellt werden. [12] Das Wort "Tessella" bedeutet "kleines Quadrat" (aus tessera quadratisch, was wiederum ist vom griechischen Wort τέσσερα für four ). Es entspricht der Alltagssprache von 19459011 (19459012), was sich auf die Anwendung von Tessellationen bezieht, die häufig aus glasiertem Ton bestehen.
Überblick [ edit ]
Tessellation in zwei Dimensionen, auch planare Kacheln genannt, ist ein Thema in der Geometrie, das untersucht, wie Formen -Fliesen können so angeordnet sein, dass eine Ebene lückenlos nach bestimmten Regeln gefüllt wird. Diese Regeln können variiert werden. Üblich ist, dass zwischen den Kacheln keine Lücken bestehen dürfen und dass keine Ecke einer Kachel entlang der Kante einer anderen liegen kann. [13] Die durch Verbundmauerwerk geschaffenen Mosaiksteine befolgen diese Regel nicht. Unter denjenigen, die dies tun, hat eine reguläre Tessellation identische reguläre Kacheln [a] und identische reguläre Ecken oder Scheitelpunkte, die den gleichen Winkel zwischen benachbarten Kanten für jede Kachel aufweisen. [14] Es gibt nur drei Formen, die solche regulären Tessellationen bilden können: die gleichseitiges Dreieck, Quadrat und regelmäßiges Sechseck. Jede dieser drei Formen kann unendlich oft dupliziert werden, um eine Ebene ohne Lücken zu füllen.
Viele andere Arten von Tessellationen sind unter verschiedenen Bedingungen möglich. Zum Beispiel gibt es acht Arten von halbregelmäßigen Tessellationen, die aus mehr als einer Art regulärer Polygone bestehen, aber an jeder Ecke die gleiche Anordnung von Polygonen haben. [15] Unregelmäßige Tessellationen können auch aus anderen Formen wie Pentagonen hergestellt werden. Polyominos und in der Tat fast jede Art von geometrischer Form. Der Künstler M. C. Escher ist bekannt für die Herstellung von Mosaiken mit unregelmäßigen, in Form von Tieren und anderen natürlichen Objekten geformten Kacheln. Wenn für die unterschiedlich geformten Fliesen geeignete Kontrastfarben gewählt werden, entstehen auffällige Muster, mit deren Hilfe physikalische Oberflächen wie Kirchenböden verziert werden können. [17]
Auf der Alhambra in Spanien
sind aufwendige und farbenfrohe Mosaiksteine aus glasierten Fliesen
] Formell ist eine Tessellation oder Kacheln eine Abdeckung der euklidischen Ebene durch eine zählbare Anzahl geschlossener Mengen, Kacheln genannt, so dass sich die Kacheln nur an ihren Grenzen schneiden. Diese Kacheln können Polygone oder andere Formen sein. [b] Viele Tessellationen werden aus einer begrenzten Anzahl von Prototilen gebildet, in denen alle Kacheln in der Tessellation mit den angegebenen Prototilen übereinstimmen. Wenn eine geometrische Form als Prototil verwendet werden kann, um eine Tessellation zu erzeugen, spricht man von Tessellate oder von um die Ebene zu kacheln. Das Conway-Kriterium ist ein ausreichendes, aber nicht notwendiges Regelwerk, um zu entscheiden, ob eine gegebene Form die Ebene periodisch ohne Reflexionen ausfüllt: Einige Kacheln verfehlen das Kriterium, kacheln jedoch immer noch die Ebene. [19] Es wurde keine allgemeine Regel gefunden, um zu bestimmen, ob ein bestimmtes Element vorliegt Die Form kann die Ebene kacheln oder nicht, was bedeutet, dass es viele ungelöste Probleme bei Tessellationen gibt. [18]
Mathematisch können Tessellationen auf andere Bereiche als die euklidische Ebene erweitert werden. Der Schweizer Geometer Ludwig Schläfli leistete Pionierarbeit, indem er Polyscheme definierte, die Mathematiker heutzutage Polytope nennen. Dies sind die Analoga zu Polygonen und Polyedern in Räumen mit mehr Dimensionen. Er definierte die Schläfli-Symbolnotation weiter, um die Beschreibung von Polytopen zu erleichtern. Zum Beispiel ist das Schläfli-Symbol für ein gleichseitiges Dreieck {3}, während das für ein Quadrat {4} ist. [20] Die Schläfli-Notation ermöglicht die kompakte Beschreibung von Kacheln. Zum Beispiel hat eine Kachelung von regelmäßigen Sechsecken drei sechsseitige Polygone an jedem Scheitelpunkt, sodass das Schläfli-Symbol {6,3} ist. [21]
Es gibt auch andere Methoden zur Beschreibung von polygonalen Verkleidungen. Wenn die Tessellation aus regulären Polygonen besteht, wird die Scheitelpunktkonfiguration am häufigsten verwendet. Hierbei handelt es sich lediglich um eine Liste der Seiten der Polygone um einen Scheitelpunkt. Die quadratischen Kacheln haben eine Scheitelpunktkonfiguration von 4.4.4.4 oder 4 4 . Das Kacheln regulärer Sechsecke wird in Abschnitt 6.6.6 oder 6 3 vermerkt. [18]
In der Mathematik [ edit ]
Einführung in Tessellations [[19456501] ] edit ]
Mathematiker verwenden einige Fachbegriffe, wenn sie über Fliesen verhandeln. Eine Kante ist die Kreuzung zwischen zwei angrenzenden Fliesen. es ist oft eine gerade Linie. Ein Vertex ist der Schnittpunkt von drei oder mehr angrenzenden Plättchen. Unter Verwendung dieser Ausdrücke ist eine isogonale (19459012) oder vertex-transitive Kachelung eine Kachelung, bei der jeder Scheitelpunktpunkt identisch ist. das heißt, die Anordnung der Polygone um jeden Scheitelpunkt ist die gleiche. [18] Die Grundregion ist eine Form wie ein Rechteck, das wiederholt wird, um die Tessellation zu bilden. [22] Eine reguläre Tessellation der Ebene mit Quadraten hat beispielsweise ein Treffen von vier Quadraten an jedem Scheitelpunkt. [18]
Die Seiten der Polygone sind nicht notwendigerweise mit den Kanten der Kacheln identisch. Eine Kante-an-Kante-Verlegung ist eine beliebige polygonale Tesselation, bei der benachbarte Fliesen sich nur eine volle Seite teilen, d. H. Keine Platte teilt sich eine Teilseite oder mehr als eine Seite mit einer anderen Platte. Bei einer Kantenkante sind die Seiten der Polygone und die Kanten der Kacheln gleich. Die vertraute "Ziegelmauer" -Fliesen sind nicht Rand an Rand, weil die lange Seite jedes rechteckigen Ziegels mit zwei angrenzenden Ziegeln geteilt wird. [18]
A normale Kacheln ist eine Tessellation, für die jede Kachel topologisch einer Platte entspricht, der Schnittpunkt von zwei beliebigen Kacheln ist eine einzelne verbundene Menge oder die leere Menge, und alle Kacheln sind einheitlich begrenzt. Dies bedeutet, dass ein einzelner Umschreibungsradius und ein einziger Beschriftungsradius für alle Kacheln in der gesamten Verkleidung verwendet werden kann. der Zustand erlaubt keine pathologisch langen oder dünnen Kacheln. [23]
Ein monohedrales Kacheln ist eine Tessellation, bei der alle Kacheln kongruent sind; es hat nur ein prototil. Ein besonders interessanter Typ von monoedrischen Tessellationen ist das spiralförmige monoedrische Kacheln. Die ersten monoedrischen Kacheln wurden von Heinz Voderberg im Jahr 1936 entdeckt. Die Voderberger Kacheln weisen eine Einheitskachel auf, die ein nicht konvexer Neneagon ist. [1] Die Hirschhorn-Kacheln die 1985 von Michael D. Hirschhorn und DC Hunt veröffentlicht wurde, sind Fünfeckkacheln mit unregelmäßigen Fünfecken: gewöhnliche Fünfecke können nicht kacheln die euklidische Ebene als Innenwinkel eines regulären Fünfecks, 3 π / 5 ist kein Divisor von 2 π An Isoedrische Kacheln sind eine spezielle Variante einer monoedrischen Kachelung, bei der alle Kacheln derselben Transitivitätsklasse angehören, das heißt, alle Kacheln sind Transformationen desselben Prototils unter der Symmetriegruppe der Kacheln. [23] Wenn ein Prototil Kacheln zulässt, aber keine solche Verfliesung ist isoedrisch, dann wird das Prototil anisoedrisch genannt und bildet anisoedrische Kacheln.
Eine reguläre Tesselation ist eine hochsymmetrische Randkante aus regelmäßigen Polygonen, die alle dieselbe Form haben. Es gibt nur drei regelmäßige Tessellationen: solche, die aus gleichseitigen Dreiecken, Quadraten oder regelmäßigen Sechsecken bestehen. Alle drei dieser Kacheln sind isogonal und monohedral. [27]
Bei einer halbregelmäßigen (oder archimedischen) Tessellation werden in einer isogonalen Anordnung mehr als ein Typ eines regulären Polygons verwendet. Es gibt acht halb regelmäßige Kacheln (oder neun, wenn das spiegelbildliche Kachelpaar als zwei zählt). Diese können durch ihre Scheitelpunktkonfiguration beschrieben werden; Zum Beispiel hat ein halbregelmäßiges Kacheln mit Quadraten und regulären Achtecken die Scheitelpunktkonfiguration 4.8 2 (jeder Scheitelpunkt hat ein Quadrat und zwei Achtecke). [29] Viele Nichtkante-an-Kante-Kacheln der Eine euklidische Ebene ist möglich, einschließlich der Familie der pythagoreischen Kacheln, Tessellationen, die zwei (parametrisierte) Quadratgrößen verwenden, wobei jedes Quadrat vier Quadrate der anderen Größe berührt. [30] Eine Tessellation ist eine, bei der jede Kachel über einem reflektiert werden kann Kante, um die Position eines benachbarten Kachels einzunehmen, z. B. in einer Reihe von gleichseitigen oder gleichschenkligen Dreiecken. [31]
Diese tessellierte, monoedrische Straßenpflasterung verwendet gekrümmte Formen anstelle von Polygonen. Sie gehört zur Tapetengruppe p3.
Tapetengruppen [ edit ]
Tilings mit translatorischer Symmetrie in zwei voneinander unabhängigen Richtungen können durch Tapetengruppen kategorisiert werden, von denen 17 existieren. [32] Es wurde behauptet, dass alle siebzehn dieser Gruppen im Alhambra-Palast in Granada, Spanien, vertreten sind. Obwohl dies umstritten ist, [33] haben die Vielfalt und die Raffinesse der Alhambra-Fliesen die modernen Forscher überrascht. [34] Von den drei regulären Tilings befinden sich zwei in der Tapetengruppe p6m und einer in p4m . Tilings in 2D mit translatorischer Symmetrie in nur einer Richtung können durch die sieben Friesgruppen, die die möglichen Friesmuster beschreiben, kategorisiert werden. [35] Mit der Orbifold-Notation können Tapetengruppen der euklidischen Ebene beschrieben werden. [36]
Aperiodic tilings edit ]
Penrose-Kacheln, bei denen zwei unterschiedliche vierseitige Prototilien verwendet werden, sind das bekannteste Beispiel für Kacheln, die zwangsweise nicht periodische Muster erzeugen. Sie gehören zu einer allgemeinen Klasse von aperiodischen Kacheln, bei denen Kacheln verwendet werden, die nicht periodisch kacheln können. Der rekursive Vorgang des Substitutionskachelns ist eine Methode zur Erzeugung aperiodischer Kacheln. Eine Klasse, die auf diese Weise generiert werden kann, sind die Wiederholungskacheln. Diese Verkleidungen haben überraschende, sich selbst replizierende Eigenschaften. Die Verlegung der Radräder ist nicht periodisch und verwendet eine Kachelstruktur. Die Kacheln erscheinen in unendlich vielen Orientierungen. [38] Man könnte annehmen, dass ein nichtperiodisches Muster völlig ohne Symmetrie wäre, dies ist jedoch nicht der Fall. Aperiodische Verlegungen haben zwar keine translatorische Symmetrie, sie haben jedoch Symmetrien anderer Typen, durch unendliche Wiederholung eines beliebigen begrenzten Flickens der Fliese und in bestimmten endlichen Gruppen von Rotationen oder Reflexionen dieser Flicken. [39] Eine Substitutionsregel, wie sie sein kann verwendet, um einige Penrose-Muster zu erzeugen, die aus Anordnungen von Kacheln bestehen, die Rhomben genannt werden, und veranschaulicht die Skalierungssymmetrie. [40] Ein Fibonacci-Wort kann verwendet werden, um aperiodische Kacheln zu erstellen und Quasikristalle zu studieren, bei denen es sich um Strukturen mit aperiodischer Ordnung handelt. [41]
Wang-Kacheln sind Quadrate sind an jeder Kante farbig und so platziert, dass angrenzende Kanten benachbarter Fliesen die gleiche Farbe haben; Daher werden sie manchmal als Wang-Dominosteine bezeichnet. Ein geeigneter Satz von Wang-Dominosteinen kann das Flugzeug aber nur aperiodisch anordnen. Dies ist bekannt, da jede Turing-Maschine als ein Satz von Wang-Dominos dargestellt werden kann, die das Flugzeug nur dann kacheln, wenn die Turing-Maschine nicht anhält. Da das Halteproblem unentscheidbar ist, ist auch das Problem der Entscheidung, ob ein Wang-Domino-Set das Flugzeug fliesen kann, unentscheidbar. [42][43][44][45][46]
Truchet-Fliesen sind quadratische Fliesen, die mit Mustern verziert sind, so dass sie keine Rotationssymmetrie haben. 1704 verwendete Sébastien Truchet eine quadratische Fliese, die in zwei kontrastierende Dreiecke aufgeteilt war. Diese können die Ebene entweder periodisch oder zufällig kacheln. [47][48]
Tessellations and color [ edit
Wenn die Farben dieser Kacheln durch Wiederholung dieses Rechtecks als Grundbereich ein Muster bilden sollen, sind mindestens sieben Farben erforderlich; ganz allgemein werden mindestens vier Farben benötigt.
Manchmal wird die Farbe einer Fliese als Teil der Kacheln verstanden; zu anderen Zeiten können später beliebige Farben angewendet werden. Bei der Diskussion über eine Kachelung, die in Farben angezeigt wird, müssen Sie angeben, ob die Farben Teil der Kachelung oder nur Teil ihrer Darstellung sind, um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden. Dies wirkt sich darauf aus, ob Fliesen mit der gleichen Form, aber unterschiedlichen Farben als identisch betrachtet werden, was wiederum Fragen der Symmetrie beeinflusst. Der Vier-Farben-Theorem besagt, dass für jede Tessellation einer normalen euklidischen Ebene mit einem Satz von vier verfügbaren Farben jede Kachel in einer Farbe gefärbt werden kann, so dass sich bei einer Kurve mit positiver Länge keine Kacheln gleicher Farbe treffen. Die durch den Vierfarbensatz garantierte Färbung berücksichtigt im Allgemeinen nicht die Symmetrien der Tessellation. Um eine Farbe zu erzeugen, die dies tut, ist es notwendig, die Farben als Teil der Tessellation zu behandeln. Hier können bis zu sieben Farben erforderlich sein, wie im Bild rechts. [49]
Tessellations mit Polygonen [ edit
Neben den verschiedenen Anordnungen von regulären Polygonen wurden auch Anordnungen von anderen Polygonen untersucht.
Jedes Dreieck oder Viereck (auch nicht konvex) kann als Prototil verwendet werden, um eine monoedrische Tesselation zu bilden, oft in mehr als einer Hinsicht. Kopien eines beliebigen Vierecks können eine Tessellation mit Translationssymmetrie und zweifacher Rotationssymmetrie mit Mittelpunkten an den Mittelpunkten aller Seiten bilden. Für ein asymmetrisches Viereck gehört diese Kachelung zur Tapetengruppe p2. Als grundlegende Domäne haben wir das Viereck. Äquivalent dazu können wir ein Parallelogramm konstruieren, das von einem minimalen Satz von Translationsvektoren ausgehend von einem Drehzentrum umgeben wird. Wir können dies durch eine Diagonale teilen und eine Hälfte (ein Dreieck) als Grundbereich nehmen. Ein solches Dreieck hat die gleiche Fläche wie das Viereck und kann daraus durch Ausschneiden und Aufkleben konstruiert werden. [50]
Wenn nur eine Form einer Fliese zulässig ist, sind Kacheln mit konvexer Form vorhanden. N -gons für N gleich 3, 4, 5 und 6. Für N = 5 siehe Pentagonalfliesen, für N = 6 siehe Sechskantfliesen, für N = 7 siehe Heptagonale Fliesen und für N = 8 siehe achteckige Fliesen.
Ergebnisse zum Kacheln der Ebene mit Polyominoen finden Sie unter Polyomino. § Verwendung von Polyominoen.
Voronoi-Kacheln [ edit ]
Voronoi- oder Dirichlet-Kacheln sind Mosaiken, bei denen jede Kachel als die Menge von Punkten definiert ist, die einem Punkt in einer diskreten Menge von Definitionspunkten am nächsten liegt. (Denken Sie an geografische Regionen, in denen jede Region als alle Punkte definiert ist, die einer bestimmten Stadt oder Poststelle am nächsten liegen.) [51][52] Die Voronoi-Zelle für jeden Definitionspunkt ist ein konvexes Polygon. Die Delaunay-Triangulation ist eine Tessellation, die den dualen Graphen einer Voronoi-Tessellation darstellt. Delaunay-Triangulationen sind in der numerischen Simulation von Nutzen, zum Teil, weil Delaunay-Triangulationen unter allen möglichen Triangulationen der Definitionspunkte das Minimum der durch die Kanten gebildeten Winkel maximieren. [53] Voronoi-Kacheln mit zufällig angeordneten Punkten können verwendet werden, um zufällige Kacheln von zu erstellen das Flugzeug. [54]
Tessellationen in höheren Dimensionen [ edit
Abbildung eines Schmitt-Conway-Biprismas, auch Schmitt-Conway-Danzer-Fliese genannt
Tessellation kann auf drei Dimensionen erweitert werden. Bestimmte Polyeder können in einem regulären Kristallmuster gestapelt werden, um den dreidimensionalen Raum zu füllen (oder zu kacheln), einschließlich des Würfels (des einzigen platonischen Polyeders), des rhombischen Dodekaeders, des abgestumpften Oktaeders und dreieckiger, vierseitiger und sechseckiger Prismen ua [55] Jedes Polyeder, das dieses Kriterium erfüllt, ist als Plesiohedron bekannt und kann zwischen 4 und 38 Flächen besitzen. [56] Natürlich vorkommende rhombische Dodekaeder werden als Kristalle von Andradit (einer Art Granat) und Fluorit gefunden. [57] [58]
Ein schwarzes Dreieck ist ein Kugeldreieck, mit dem eine Kugel gefliest werden kann. [59]
Tessellations in drei oder mehr Dimensionen werden Waben genannt. In drei Dimensionen gibt es nur eine reguläre Wabe mit acht Würfeln an jedem Polyederscheitelpunkt. In ähnlicher Weise gibt es in drei Dimensionen nur eine quasireguläre [c] Wabe, die an jedem Polyederscheitelpunkt acht Tetraeder und sechs Oktaeder aufweist. Es gibt jedoch viele mögliche halbwinklige Waben in drei Dimensionen. [60] Gleichförmige Polyeder können unter Verwendung der Wythoff-Konstruktion konstruiert werden. [61]
Das Schmitt-Conway-Biprisma ist ein konvexes Polyeder mit der Eigenschaft von Raum nur aperiodisch verlegen. [62]
Tessellationen in nichteuklidischen Geometrien [ edit ]
Es ist möglich, in nicht-euklidischen Geometrien wie der hyperbolischen Geometrie zu tessellieren. Eine gleichmäßige Kachelung in der hyperbolischen Ebene (die regelmäßig, quasiregulär oder halbkreisförmig sein kann) ist eine Rand-zu-Rand-Füllung der hyperbolischen Ebene mit regelmäßigen Polygonen als Flächen; diese sind Vertex-Transitiv (transitiv auf den Vertices) und isogonal (es gibt eine Isometrie, die jeden Vertex auf einen anderen kartiert). [63] [64]
Eine Uniform Wabe im hyperbolischen Raum ist ein einheitliches Tessellieren von gleichförmigen polyedrischen Zellen. Im dreidimensionalen hyperbolischen Raum gibt es neun Coxeter-Gruppenfamilien von kompakten konvexen gleichförmigen Waben, die als Wythoff-Konstruktionen erzeugt und durch Permutationen von Ringen der Coxeter-Diagramme für jede Familie dargestellt werden. [65]
Eine Steppdecke, die ein regelmäßiges Tessellationsmuster zeigt
Römische Mosaikfußbodenplatte aus Stein, Fliesen und Glas, aus einer Villa in der Nähe von Antiochia in Römisch Syrien. 2. Jahrhundert n. Chr.
In der Architektur werden seit alters her Dekorationen verwendet. Mosaikfliesen hatten oft geometrische Muster. [4] Spätere Zivilisationen verwendeten auch größere Fliesen, entweder einfach oder einzeln dekoriert. Einige der dekorativsten waren die maurischen Wandverkleidungen der islamischen Architektur mit Girih- und Zellige-Kacheln in Gebäuden wie der Alhambra [66] und La Mezquita. [67]
Tessellations erschien häufig in der Grafik Kunst von MC Escher; Als er 1936 Spanien besuchte, inspirierte ihn die maurische Verwendung der Symmetrie an Orten wie der Alhambra. Escher fertigte vier "Circle Limit" -Zeichnungen von Fliesen mit hyperbolischer Geometrie an. [69][70] Für seinen Holzschnitt "Circle Limit IV" (1960) ) Erstellte Escher eine Bleistift- und Tintenstudie, die die erforderliche Geometrie zeigte. Escher erklärte: "Kein einziger Bestandteil aller Serien, die aus unendlich weitem Abstand wie Raketen senkrecht aus dem Grenzbereich aufsteigen und sich darin endgültig verlieren, erreicht niemals die Grenzlinie."
Auf Textilien tauchen häufig tessellierte Motive auf gewebt, genäht oder bedruckt. Tessellationsmuster wurden verwendet, um ineinandergreifende Motive von Patch-Formen in Bettdecken zu entwerfen. [73] [74]
. Tessellationen sind auch ein Hauptgenre in Origami (Papierfaltung) Falten werden verwendet, um Moleküle, wie z. B. verdrehte Falten, wiederholt zu verbinden. [75]
In Manufacturing [ edit
Tessellation wird in der verarbeitenden Industrie verwendet, um Materialverluste (Ausbeuteverluste), wie z. B. Blech, zu reduzieren, wenn Formen für Autotüren oder Getränkedosen ausgeschnitten werden. [76]
Tessellation is sichtbar in der schlammkrakenartigen Rissbildung von dünnen Schichten [77][78] - mit einem gewissen Grad an Selbstorganisation unter Verwendung von Mikro- und Nanotechnologien. [79]
In nature [
]
Die Wabe stellt mit ihren sechseckigen Zellen ein bekanntes Beispiel für Tessellation in der Natur dar. [80]
In der Botanik beschreibt der Begriff "Tessellate" ein Schachbrettmuster, beispielsweise auf einer Blüte Blütenblatt, Baumrinde oder Frucht. Blumen, darunter der Fritillary [81] und einige Arten von Colchicum sind charakteristisch Tessellate. [82]
. Viele Muster in der Natur werden durch Risse in Materialblättern gebildet. Diese Muster können durch Gilbert-Tessellationen [83] beschrieben werden, die auch als Random-Crack-Netzwerke bekannt sind. [84] Die Gilbert-Tesselation ist ein mathematisches Modell für die Bildung von Schlammspalten, nadelartigen Kristallen und ähnlichen Strukturen. Das nach Edgar Gilbert benannte Modell lässt Risse entstehen, die zufällig über die Ebene gestreut werden. Jeder Riss breitet sich in zwei entgegengesetzten Richtungen entlang einer Linie durch den Startpunkt aus, wobei die Steigung zufällig gewählt wird und eine Tessellierung unregelmäßiger konvexer Polygone verursacht. [85] Basaltische Lavaflüsse zeigen oft säulenförmige Verbindungen, da die Lava durch Kontraktionskräfte Risse verursacht kühlt ab Die ausgedehnten Rissnetzwerke, die sich entwickeln, erzeugen oft sechseckige Lavasäulen. Ein Beispiel für ein solches Säulenarray ist der Giant's Causeway in Nordirland. [86] Das tessellierte Pflaster, von dem ein charakteristisches Beispiel bei Eaglehawk Neck auf der Tasmanischen Halbinsel von Tasmanien zu finden ist, ist eine seltene Sedimentgesteinsformation, in der der Felsen gebrochen ist in rechteckige Blöcke. [87]
Andere natürliche Muster treten in Schaumstoffen auf; Diese sind gemäß den Plateau-Gesetzen verpackt, die minimale Oberflächen erfordern. Solche Schäume stellen ein Problem dar, wie die Zellen so dicht wie möglich zu verpacken sind: 1887 schlug Lord Kelvin eine Packung vor, bei der nur ein einziger Feststoff verwendet wurde, die bitrunkierte kubische Wabe mit sehr leicht gekrümmten Flächen. Denis Weaire und Robert Phelan schlugen 1993 die Weaire-Phelan-Struktur vor, die zum Trennen von Zellen mit gleichem Volumen weniger Oberfläche als Kelvins Schaumstoff verwendet. [88]
In Rätseln und in der Freizeitmathematik [ edit ]
Aus Tessellations sind viele Arten von Fliesenpuzzle entstanden, von traditionellen Puzzles (mit unregelmäßigen Holzstücken oder Pappe) [89] und Tangram [90] bis hin zu moderneren Puzzlespielen, die oft mathematische Grundlagen haben. Zum Beispiel sind Polyamonds und Polyominos Figuren aus regelmäßigen Dreiecken und Quadraten, die oft in Fliesenrätseln verwendet werden. [91][92] Autoren wie Henry Dudeney und Martin Gardner haben Tessellation in der Freizeitmathematik vielfach verwendet. Zum Beispiel erfand Dudeney die klappbare Dissektion, [93] während Gardner über die Repräsentationsfliese schrieb, eine Form, die in kleinere Kopien derselben Form zerlegt werden kann. [94][95] Inspiriert von Gardners Artikeln in Scientific American, dem Amateur-Mathematiker Marjorie Reis fand vier neue Tessellationen mit Fünfecken. [96][97] Das Quadrieren des Quadrats ist das Problem des Kachelns eines ganzzahligen Quadrats (eines, dessen Seiten ganzzahlige Länge haben), indem nur andere integrale Quadrate verwendet werden. [98][99] Eine Erweiterung quadriert das Flugzeug, indem es durch Quadrate gekachelt wird deren Größen sind alle natürlichen Zahlen ohne Wiederholungen; James und Frederick Henle bewiesen, dass dies möglich war. [100]
Beispiele [ edit
^ Der mathematische Begriff für identische Formen ist "kongruent" - in der Mathematik bedeutet "identisch", dass sie dieselbe Kachel sind.
^ Die Kacheln müssen normalerweise homöomorph (topologisch äquivalent) zu einer geschlossenen Scheibe sein, dh bizarre Formen mit Löchern, baumelnden Liniensegmenten oder unendlichen Bereichen sind ausgeschlossen. [18]
^ In diesem Zusammenhang bedeutet Quasiregular, dass die Zellen sind regulär (Festkörper) und die Scheitelpunktfiguren sind halbregular.
Referenzen [ edit
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Sources[edit]
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External links[edit]
Wolfram MathWorld: Tessellation (good bibliography, drawings of regular, semiregular and demiregular tessellations)
Tilings Encyclopedia (extensive information on substitution tilings, including drawings, people, and references)
Tessellations.org (how-to guides, Escher tessellation gallery, galleries of tessellations by other artists, lesson plans, history)
Eppstein, David. "The Geometry Junkyard: Hyperbolic Tiling". (list of web resources including articles and galleries)
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