Zenos Paradoxien - Wikipedia

Die Paradoxien von Zeno sind eine Reihe von philosophischen Problemen, von denen allgemein angenommen wird, dass sie vom griechischen Philosophen Zeno von Elea (ca. 490–430 v. Chr.) Entworfen wurden, um die Doktrin von Parmenides zu unterstützen, die im Gegensatz zu den Beweisen der eigenen Sinne, der Überzeugung in der Pluralität und in der Veränderung ist ein Irrtum, und insbesondere diese Bewegung ist nur eine Illusion. Basierend auf Platons Parmenides (128a –d) wird normalerweise angenommen, dass Zeno das Projekt der Schaffung dieser Paradoxa übernahm, weil andere Philosophen Paradoxien gegen Parmenides 'Ansicht geschaffen hatten. So hat Plato Zeno sagen, der Zweck der Paradoxa sei "zu zeigen, dass ihre Hypothese, dass Existenzen viele sind, bei richtiger Weiterverfolgung zu noch absurderen Ergebnissen führt als die Hypothese, dass sie eins sind." ^[1] Sokrates behauptet dies Zeno und Parmenides argumentierten im Wesentlichen genau denselben Punkt. ^[2]

Einige der überlebenden Paradoxa von Zeno (in Aristoteles Physics ^[3][4]
und Simplicius 'Kommentar dazu) sind im Wesentlichen gleichwertig. Aristoteles stellte eine Widerlegung von einigen von ihnen dar. ^[3] Drei der stärksten und berühmtesten - die von Achilles und der Schildkröte, das Argument der Dichotomie und die eines Pfeils im Flug - werden nachstehend ausführlich dargestellt.

Die Argumente von Zeno sind vielleicht die ersten Beispiele für eine Beweismethode, reductio ad absurdum genannt, die auch als Beweis durch Widerspruch bekannt ist. Sie werden auch als Quelle der von Sokrates verwendeten dialektischen Methode bezeichnet. ^[5]

Einige Mathematiker und Historiker, wie Carl Boyer, meinen, Zenos Paradoxa seien einfach mathematische Probleme, für die der heutige Kalkül gilt bietet eine mathematische Lösung. ^[6]
Einige Philosophen sagen jedoch, dass Zenos Paradoxien und ihre Variationen (siehe Thomson-Lampe) weiterhin relevante metaphysische Probleme bleiben. ^{[7] [7]} ] [9]

Die Ursprünge der Paradoxien sind etwas unklar. Diogenes Laërtius, eine vierte Informationsquelle über Zeno und seine Lehren, zitiert Favorinus. Zenos Lehrer Parmenides war der erste, der die Achilles und das Schildkrötenparadox eingeführt hat. In einer späteren Passage schreibt Laërtius den Ursprung des Paradoxons Zeno zu und erklärt, dass Favorinus nicht der Ansicht ist. ^[10]

Paradoxe der Bewegung [ ]

Achilles und die Schildkröte edit ]

Distanz gegen Zeit, vorausgesetzt, die Schildkröte läuft mit Achilles halber Geschwindigkeit

Achilles und die Schildkröte

In einem Rennen kann der schnellste Läufer niemals den langsamsten überholen Der Verfolger muss zuerst den Punkt erreichen, von dem aus das Verfolgte begann, so dass der langsamere immer eine Spur halten muss.

Im Paradoxon von Achilles und der Schildkröte ist Achilles mit der Schildkröte in einer Fußrasse. Achilles erlaubt der Schildkröte beispielsweise einen Vorsprung von 100 Metern. Angenommen, jeder Rennfahrer beginnt mit einer konstanten Geschwindigkeit (eine sehr schnelle und eine sehr langsame), dann ist Achilles nach einiger Zeit 100 Meter gelaufen und bringt ihn zum Ausgangspunkt der Schildkröte. In dieser Zeit hat die Schildkröte eine viel kürzere Strecke zurückgelegt, zum Beispiel 10 Meter. Achilles braucht dann noch eine Weile, bis er diese Strecke zurückgelegt hat. Zu diesem Zeitpunkt ist die Schildkröte weiter fortgeschritten; und dann noch mehr Zeit, um diesen dritten Punkt zu erreichen, während sich die Schildkröte vorwärts bewegt. Immer wenn Achilles irgendwo ankommt, wo die Schildkröte war, hat er noch etwas Abstand, bevor er die Schildkröte überhaupt erreichen kann. ^[11]

Dichotomy paradox [ edit ]

Das, was drin ist Die Fortbewegung muss auf halbem Weg eintreffen, bevor sie das Ziel erreicht.

Angenommen, Homer möchte bis zum Ende eines Weges gehen. Bevor er dorthin gelangen kann, muss er auf halbem Weg sein. Bevor er auf halbem Weg dorthin gelangen kann, muss er ein Viertel des Weges dorthin gelangen. Bevor er ein Viertel fährt, muss er ein Achtel fahren; vor einem achten ein sechzehnten; und so weiter.

Die Dichotomie, beide Versionen

Die resultierende Sequenz kann dargestellt werden als:

${\displaystyle \{19\; <!--\; \cdots \; -->\frac{1}{16}\frac{1}{8}\frac{1}{4}]\; 1\; <mn>\; 2\; </mn>1}$

Für diese Beschreibung ist eine unendliche Anzahl von Aufgaben erforderlich, die von Zeno verwaltet wird ist eine Unmöglichkeit. ^[12]

Diese Sequenz stellt auch ein zweites Problem dar, da sie keine erste Laufstrecke enthält, denn eine mögliche (endliche) erste Strecke könnte in zwei Hälften geteilt werden. und wäre deshalb nicht zuerst. Daher kann die Reise nicht einmal beginnen. Die paradoxe Schlussfolgerung wäre dann, dass das Reisen über eine begrenzte Distanz weder abgeschlossen noch begonnen werden kann und daher alle Bewegungen eine Illusion sein müssen. Eine alternative Schlussfolgerung, die von Henri Bergson vorgeschlagen wurde, lautet, dass Bewegung (Zeit und Entfernung) eigentlich nicht teilbar ist.

Dieses Argument wird als Dichotomie bezeichnet, weil es darin besteht, eine Entfernung wiederholt in zwei Teile aufzuteilen. Es enthält einige der gleichen Elemente wie das Paradoxon von Achilles und die Schildkröte von 19459005, jedoch mit einer offensichtlichen Schlussfolgerung der Bewegungslosigkeit. Es ist auch bekannt als das Race Course Paradox. Einige, wie Aristoteles, betrachten die Dichotomie als wirklich nur eine andere Version von Achilles und der Schildkröte ^[13]

. ^[13]

Arrow paradox [ edit

Wenn alles, was sie besetzt ein gleichwertiger Raum ist in Ruhe, und wenn das, was sich bewegt, zu jedem Zeitpunkt einen solchen Raum einnimmt, ist der fliegende Pfeil daher unbeweglich. ^[14]

In dem Pfeilparadox stellt Zeno fest Damit eine Bewegung stattfinden kann, muss ein Objekt die Position ändern, die er einnimmt. Er gibt ein Beispiel für einen Pfeil im Flug. Er gibt an, dass sich der Pfeil in einem (zeitlosen) Moment nicht zu dem bewegt, wo er ist, oder dorthin, wo er nicht ist. ^[15]
Er kann sich nicht dahin bewegen, wo er ist, weil keine Zeit dafür vergeht dorthin zu ziehen; es kann sich nicht dorthin bewegen, weil es bereits da ist. Mit anderen Worten, zu jedem Zeitpunkt tritt keine Bewegung auf. Wenn alles zu jedem Zeitpunkt unbeweglich ist und die Zeit vollständig aus Momenten besteht, ist Bewegung unmöglich.

Während die ersten beiden Paradoxien den Raum teilen, beginnt dieses Paradoxon mit der Zeiteinteilung - und nicht in Segmenten, sondern in Punkten. ^[16]

Drei weitere Paradoxien, wie von Aristoteles [] ] ] 19659054] Paradox of Place [ edit ]

Von Aristoteles:

Wenn alles, was existiert, einen Platz hat, wird auch ein Platz einen Platz haben usw. ad infinitum . ^[17]

Paradoxon des Kornes von Millet [ edit ]

Beschreibung des Paradoxons aus dem Routledge Dictionary of Philosophy :

Das Argument ist, dass ein einzelnes Hirsekorn beim Fallen kein Geräusch macht, aber tausend Körner ein Geräusch machen. So werden aus tausend Nischen etwas zu einer absurden Schlussfolgerung. ^[18]

Aristoteles Widerlegung:

Zeno hat sich geirrt als gesagt, dass es keinen Teil der Hirse gibt, der keinen Ton von sich gibt: denn es gibt keinen Grund, warum ein solcher Teil die Luft, in die sich der ganze Scheffel bewegt, nicht nach und nach bewegen sollte fallen Tatsächlich bewegt es sich nicht einmal so viel Luft, wie es sich bewegen würde, wenn dieser Teil für sich wäre: zu keinem Teil existiert etwas anderes als möglicherweise. ^[19]

Beschreibung von Nick Huggett:

Dies ist ein parmenidisches Argument, dass man seinem Gehör nicht vertrauen kann. Aristoteles Antwort scheint zu sein, dass sogar unhörbare Töne zu einem hörbaren Ton beitragen können. ^[20]

The Moving Rows (oder Stadium) [ edit ]

Von Aristoteles:

... in Bezug auf die beiden Körperreihen, wobei jede Reihe aus einer gleichen Anzahl von Körpern gleicher Größe besteht, die sich auf einer Rennstrecke überholen, während sie mit gleicher Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtungen voranschreiten, wobei die eine Reihe ursprünglich besetzt ist der Abstand zwischen dem Ziel und dem mittleren Punkt der Strecke und der andere zwischen dem mittleren Punkt und dem Startpfosten. Dies beinhaltet die Schlussfolgerung, dass eine halbe gegebene Zeit das Doppelte dieser Zeit ist. ^[21]

Für eine erweiterte Darstellung der Argumente von Zeno, wie sie von Aristoteles vorgetragen wurden, siehe Simplicius 'Kommentar Über Aristoteles' Physics .

Vorgeschlagene Lösungen [ edit ]

Diogenes the Cynic [ edit ]

Nach Simplicius sagte Diogenes nichts, als er Zenos hörte Argumente, stand jedoch auf und ging, um die Falschheit der Schlussfolgerungen von Zeno zu demonstrieren (vgl. solvitur ambulando ). Um eines der Paradoxe vollständig zu lösen, muss jedoch gezeigt werden, was mit dem Argument falsch ist, nicht nur die Schlussfolgerungen. Im Laufe der Geschichte wurden mehrere Lösungen vorgeschlagen, unter anderem die von Aristoteles und Archimedes.

Aristoteles [ edit ]

Aristoteles (384 v. Chr. - 322 v. Chr.) Bemerkte, dass mit abnehmender Entfernung auch die Zeit, die erforderlich ist, um diese Abstände zurückzulegen, abnimmt, so dass auch die benötigte Zeit abnimmt wird immer kleiner. ^[22][23]
Aristoteles unterschied auch "Dinge, die in Bezug auf die Teilbarkeit unendlich sind" (etwa eine Raumeinheit, die geistig in immer kleinere Einheiten unterteilt werden kann, während sie räumlich gleich bleibt) von Dingen (oder Entfernungen), die unendlich sind Erweiterung ("in Bezug auf ihre Extremitäten"). ^[24]
Aristoteles Einwand gegen das Pfeil-Paradoxon lautete: "Die Zeit setzt sich nicht aus unteilbaren Augen zusammen, genauso wenig wie jede andere Größe aus Einzelgebundenen." ^[25]

Thomas Aquinas [ edit ]

Thomas Aquinas kommentierte den Einspruch Aristoteles und schrieb: "Momente sind keine Zeitteile, denn die Zeit besteht nicht aus Momenten, sondern nur aus einer Menge von Punkten, wie wir es haben bereits bewiesen, daher folgt es nicht Allerdings ist eine Sache in einer bestimmten Zeit nicht in Bewegung, nur weil sie sich zu keinem Zeitpunkt dieser Zeit in Bewegung befindet. "^[26]

Archimedes [ edit ]

Vor 212 v , Archimedes hatte eine Methode entwickelt, um eine endliche Antwort für die Summe unendlich vieler Terme abzuleiten, die immer kleiner werden. (Siehe: Geometrische Reihe, 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · ·, Die Quadratur der Parabel .) Der moderne Kalkül erzielt das gleiche Ergebnis mit strengeren Methoden (Siehe konvergente Serien, wobei die "reziprokale Potenz von 2", die dem Dichotomy Paradox entspricht, als konvergent aufgeführt wird). Diese Methoden erlauben die Konstruktion von Lösungen auf der Grundlage der von Zeno festgelegten Bedingungen, dh die Zeit, die bei jedem Schritt benötigt wird, nimmt geometrisch ab. ^[6][27]

Bertrand Russell [ edit ]

Bertrand Russell bot die sogenannte at-at-Bewegungstheorie an. Es ist damit einverstanden, dass es in einem dauerlosen Moment keine Bewegung geben kann, und behauptet, dass alles, was für die Bewegung erforderlich ist, darin besteht, dass sich der Pfeil zu einem Zeitpunkt an einem Punkt befindet, zu einem anderen Zeitpunkt zu einem anderen Zeitpunkt und an geeigneten Punkten zwischen diesen beiden Punkten für dazwischenliegende Zeiten. In dieser Ansicht ist Bewegung eine Funktion der Position in Bezug auf die Zeit. ^[28][29]

Nick Huggett [ edit ]

Nick Huggett argumentiert, dass Zeno die Schlussfolgerung annimmt, wenn er sagt, dass Objekte besetzen, die besetzen derselbe Raum wie in Ruhe muss in Ruhe sein. ^[16]

Peter Lynds [ edit ]

Peter Lynds hat argumentiert, dass alle Bewegungsparadoxen von Zeno durch die Schlussfolgerung, dass Momente gelöst werden, gelöst werden in der Zeit und in momentanen Größen existieren physisch nicht. ^[30][31][32]
Lynds argumentiert, dass ein Objekt in relativer Bewegung keine augenblickliche oder bestimmte relative Position haben kann (wenn dies der Fall ist, könnte es nicht in Bewegung sein) und seine Bewegung daher nicht fraktioniert sein so wie es von den Paradoxien angenommen wird. Weitere Informationen zur Unfähigkeit, Geschwindigkeit und Standort zu kennen, finden Sie im Heisenberg-Prinzip der Unschärfe.

Hermann Weyl [ edit ]

Ein anderer Lösungsvorschlag besteht darin, eine der Annahmen zu hinterfragen, die Zeno in seinen Paradoxien verwendet hat (insbesondere die Dichotomie), dh die zwischen zwei verschiedenen Punkten Raum (oder Zeit) gibt es immer einen anderen Punkt. Ohne diese Annahme gibt es nur eine begrenzte Anzahl von Entfernungen zwischen zwei Punkten, daher gibt es keine unendliche Bewegungssequenz, und das Paradoxon ist aufgelöst. Die Ideen von Planck-Länge und Planck-Zeit in der modernen Physik setzen der Messung von Zeit und Raum, wenn nicht sogar von Zeit und Raum selbst, Grenzen. Die Annahme, dass der Raum aus endlichen und diskreten Einheiten besteht, ist nach Hermann Weyl einem weiteren Problem unterworfen, das durch das "Fliese-Argument" oder das "Distanzfunktionsproblem" gegeben wird. ^[33][34]
Demnach ist die Länge der Hypotenuse von Ein rechtwinkliges Dreieck im diskretisierten Raum entspricht im Gegensatz zur Geometrie immer der Länge einer der beiden Seiten. Jean Paul Van Bendegem hat argumentiert, dass das Kachelargument gelöst werden kann und die Diskretisierung daher das Paradoxon beseitigen kann. ^[6][35]

Die Paradoxa der Neuzeit [ edit ]

Unendliche Prozesse blieben theoretisch störend in der Mathematik bis zum späten 19. Jahrhundert. Die Epsilon-Delta-Version von Weierstrass und Cauchy entwickelte eine strenge Formulierung der Logik und des Kalküls. Diese Arbeiten lösten die Mathematik mit unendlichen Prozessen. ^{[36] [37]}

Während die Mathematik berechnen kann, wo und wann der bewegende Achilles die Paradoxie der Tortoise von Zeno überholen wird, z wie Kevin Brown ^[7] und Moorcroft ^[8]
behaupten, dass die Mathematik den zentralen Punkt in Zenos Argumentation nicht anspricht und dass die Lösung der mathematischen Probleme nicht alle Probleme löst, die die Paradoxien aufwerfen.

In der populären Literatur werden Zenos Argumente oft falsch dargestellt. Zum Beispiel soll Zeno oft argumentiert haben, dass die Summe einer unendlichen Anzahl von Begriffen selbst unendlich sein muss - mit dem Ergebnis, dass nicht nur die Zeit, sondern auch die zurückzulegende Entfernung unendlich wird. ^[38] Eine humorvolle Einstellung wird von Tom Stoppard in seinem Stück Jumpers (1972) angeboten, in dem der Hauptdarsteller, der Philosophieprofessor George Moore, angibt, dass nach dem Paradoxon von Zeno der heilige Sebastian, ein heiliger Sebastian aus dem 3. Jahrhundert, der angeblich durch Pfeile erschossen wurde, gestorben ist Schreck. In keiner der ursprünglichen Quellen aus der Antike diskutiert Zeno die Summe einer unendlichen Serie. Simplicius sagt, Zeno sagte: "Es ist unmöglich, unendlich viele Dinge in einer endlichen Zeit zu durchqueren". Dies stellt Zenos Problem nicht dar, die Summe zu finden, sondern vielmehr, wenn eine Aufgabe mit unendlich vielen Schritten beendet: Wie kann man jemals von A nach B gelangen, wenn eine unendliche Anzahl von Es können (nicht-sofortige) Ereignisse identifiziert werden, die der Ankunft in B vorausgehen müssen, und man kann nicht einmal den Beginn eines "letzten Ereignisses" erreichen. ^{[7] [8] [9] [39]}

Die Debatte über die Frage, ob die Paradoxien von Zeno gelöst wurden oder nicht, wird fortgesetzt. In Die Geschichte der Mathematik: Eine Einführung (2010) schreibt Burton: "Obwohl Zenos Argumente seine Zeitgenossen verwirrten, enthält eine befriedigende Erklärung eine inzwischen bekannte Vorstellung, die Vorstellung einer" konvergenten unendlichen Reihe "." ^[40]

Bertrand Russell bot eine "Lösung" für die Paradoxa an, die auf der Arbeit von Georg Cantor beruhte, ^[41] doch Brown kommt zu dem Schluss: "In Anbetracht der Geschichte der" endgültigen Beschlüsse "ab Aristoteles Es ist wahrscheinlich töricht zu glauben, dass wir das Ende erreicht haben: Zenos Argumente in Bezug auf Bewegung werden aufgrund ihrer Einfachheit und Universalität immer als eine Art "Rorschach-Image" dienen, auf das die Menschen ihre grundlegendsten phänomenologischen Probleme projizieren können ( wenn sie welche haben). "^[7]

Eine ähnliche antike chinesische philosophische Betrachtung [ edit

Antike chinesische Philosophen aus der Mohist-Schule der Namen während der Zeit der Kriegerstaaten in China (479- 221 v. Chr. Ind Abhängig entwickelte Entsprechungen zu einigen Paradoxien von Zeno. Der Wissenschaftler und Historiker Sir Joseph Needham beschreibt in seinem Science and Civilization in China ein uraltes chinesisches Paradoxon aus dem überlebenden Buch der Logik der Mohist School of Names, das in der archaischen alten chinesischen Schrift "eine" besagt -Fußstock, nimm jeden Tag die Hälfte davon weg, in unzähligen Zeitaltern wird er nicht erschöpft sein. " Einige andere Paradoxien aus dieser philosophischen Schule (genauer: Bewegung) sind bekannt, aber ihre moderne Interpretation ist spekulativer.

Quanten-Zeno-Effekt [ edit ]

1977, ^[42] entdeckten die Physiker EC George Sudarshan und B. Misra, dass die dynamische Entwicklung (Bewegung) eines Quantensystems behindert werden kann (oder sogar gehemmt) durch Beobachtung des Systems. ^[43] Dieser Effekt wird üblicherweise als "Quanten-Zeno-Effekt" bezeichnet, da er stark an Zenos Pfeil-Paradoxon erinnert. Dieser Effekt wurde erstmals 1958 theoretisiert. ^[44]

Zeno-Verhalten [ edit

Auf dem Gebiet der Verifizierung und des Entwurfs von zeitgesteuerten Systemen und Hybridsystemen wird das Systemverhalten als [Zeno] bezeichnet wenn es eine unendliche Anzahl diskreter Schritte in einer endlichen Zeitspanne enthält. ^[45] Einige formale Verifikationstechniken schließen dieses Verhalten von der Analyse aus, wenn sie nicht dem Verhalten von Nicht-Zeno entsprechen. ^{[46] [46] [47]}

Beim Systemdesign werden diese Verhaltensweisen häufig auch von Systemmodellen ausgeschlossen, da sie nicht mit einem digitalen Controller implementiert werden können. ^[48]

Siehe auch [ ]

1. ^ Parmenides 128d
   


2. ^ Parmenides 128a – b
   


3. ^{a ] b} Aristoteles Physik "Physik" von Aristoteles übersetzt von RP Hardie und RK Gaye
   


4. ^
   "Griechischer Text von" Physics "von Aristoteles (siehe §4 oben im sichtbaren Bildschirmbereich)". Aus dem Original am 16. Mai 2008 archiviert.
   


5. ^ ([fragment 65]Diogenes Laërtius. IX 25ff und VIII 57).
   


6. ^{a b c} Boyer, Carl (1959). Die Geschichte des Kalküls und seine konzeptionelle Entwicklung . Dover-Publikationen. p. 295. ISBN 978-0-486-60509-8 . 2010-02-26 abgerufen. Wenn die Paradoxien somit in der genauen mathematischen Terminologie kontinuierlicher Variablen (...) angegeben sind, lösen sich die scheinbaren Widersprüche auf.
   


7. ^{a b c d} Brown, Kevin. "Zeno und das Paradox der Bewegung". Überlegungen zur Relativitätstheorie . Archiviert aus dem Original am 2012-12-05 . 2010-06-06 .
   


8. ^ ^{a b} Moorcroft, Francis. "Zeno's Paradox". Aus dem Original am 18. April 2010 archiviert.
   


9. ^ ^{a b}
   Papa-Grimaldi, Alba (1996). "Warum mathematische Lösungen der Paradoxien von Zeno den Punkt vermissen: Zenos ein und viele Beziehungen und das Verbot von Parmenides" (PDF) . Die Überprüfung der Metaphysik . 50 : 299–314.
   


10. ^ Diogenes Laërtius, Leben 9.23 und 9.29.
    


11. Huggett, Nick (2010). "Zenos Paradoxien: 3.2 Achilles und die Schildkröte". Stanford Encyclopedia of Philosophy . 2011-03-07 .
    


12. ^ Lindberg, David (2007). Die Anfänge der westlichen Wissenschaft (2. Aufl.). Universität von Chicago Press. p. 33. ISBN 978-0-226-48205-7.
    


13. ^ Huggett, Nick (2010). "Zenos Paradoxien: 3.1 Die Dichotomie". Stanford Encyclopedia of Philosophy . 2011-03-07 .
    


14. ^ Aristoteles. "Physik". Das Internet Classics Archive . Zenos Argumentation ist jedoch trügerisch, wenn er sagt, wenn alles, was einen gleichgroßen Raum einnimmt, ruht und wenn das, was sich bewegt, immer einen solchen Raum einnimmt, ist der fliegende Pfeil daher bewegungslos . Dies ist falsch, denn die Zeit setzt sich nicht aus unteilbaren Momenten zusammen, ebenso wenig wie jede andere Größenordnung aus unteilbaren Bestandteilen.
    


15. Laërtius, Diogenes (ca. 230). "Pyrrho". Leben und Meinungen bedeutender Philosophen . IX . Passage 72. ISBN 1-116-71900-2.
    


16. ^ ^{a 19659134] Huggett, Nick (2010). "Zenos Paradoxien: 3.3 Der Pfeil". Stanford Encyclopedia of Philosophy . Abgerufen 2011-03-07 .}
    


17. ^ Aristoteles Physics IV: 1, 209a25
    


18. The Michael Proudfoot, A.R. Spitze. Routledge-Wörterbuch der Philosophie. Routledge 2009, p. 445
    


19. ^ Aristoteles Physics VII: 5, 250a20
    


20. ^ Huggett, Nick, "Zeno's Paradoxes", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Ausgabe Winter 2010), Edward N Zalta (Hrsg.), Http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#GraMil
    


21. ^HR19659138] Aristoteles Physics VI: 9, 239b33
    


22. ^ 19659138] Aristoteles. Physik 6.9
    


23. ^
    Die Beobachtung von Aristoteles, dass die Bruchteile auch kürzer werden, garantiert nicht in jedem Fall, dass die Aufgabe erledigt werden kann. Ein Fall, in dem dies nicht zutrifft, ist der, in dem die Bruchzeiten in einer harmonischen Reihe abnehmen, während die Abstände geometrisch abnehmen, wie: 1/2 s für 1/2 m Verstärkung, 1/3 s für das nächste 1/4 m Verstärkung, 1/4 s für die nächste 1/8 m Verstärkung, 1/5 s für die nächste 1/16 m Verstärkung, 1/6 s für die nächste 1/32 m Verstärkung usw. In diesem Fall bilden die Abstände eine Konvergenz Serien, aber die Zeiten bilden eine divergente Serie, deren Summe keine Begrenzung hat. Archimedes entwickelte einen expliziteren mathematischen Ansatz als Aristoteles.
    


24. Aristoteles. Physik 6,9; 6.2, 233a21-31
    


25. ^ Aristoteles. Physik . VI . Vers 9: 239b5. ISBN 0-585-09205-2.
    


26. ^ Aquinas. Kommentar zu Aristoteles 'Physik, Buch 6.861
    


27. ^ George B. Thomas, Calculus and Analytic Geometry Addison Wesley, 1951
    


28. Huggett, Nick (1999) . Raum zwischen Zeno und Einstein . ISBN 0-262-08271-3.
    


29. ^ Salmon, Wesley C. (1998). Kausalität und Erklärung . p. 198. ISBN 978-0-19-510864-4.
    


30. ^ "Zenos Paradoxien: eine zeitgemäße Lösung".
    


31. ^
    Lynds, Peter. Zeit- und klassische und Quantenmechanik: Unbestimmtheit vs. Diskontinuität. Foundations of Physics Letter s (Band 16, Ausgabe 4, 2003). doi: 10.1023 / A: 1025361725408
    


32. ^
    Time´s Up Einstein, Josh McHugh, Wired Magazine, Juni 2005
    


33. ^ Van Bendegem, Jean Paul (17. März 2010). "Finitismus in der Geometrie". Stanford Encyclopedia of Philosophy . 2012-01-03 .
    


34. ^
    Cohen, Marc (11. Dezember 2000). "ATOMISMUS". Geschichte der Philosophie der Antike, University of Washington . Nach dem Original am 12. Juli 2010 archiviert. 2012-01-03 .
    


35. ^ von Bendegem, Jean Paul (1987). "Diskussion: Die Paradoxien von Zeno und das Kachelargument". Philosophie der Wissenschaften . Belgien. 54 (2): 295–302. doi: 10.1086 / 289379. JSTOR 187807.
    


36. ^ Lee, Harold (1965). "Basieren Zenos Paradoxa auf einem Fehler?" Geist . Oxford University Press. 74 (296): 563–570. doi: 10.1093 / mind / LXXIV.296.563. JSTOR 2251675.
    


37. ^ B. Russell (1956) Mathematik und die Metaphysiker in "The World of Mathematics" (Hrsg. JR Newman), S. 1576-1590,
    


38. Benson, Donald C. (1999). Der Moment des Beweises: Mathematische Epiphanien . New York: Oxford University Press. p. 14. ISBN 978-0195117219.
    


39. ^ Huggett, Nick (2010). "Zenos Paradoxien: 5. Zenos Einfluss auf die Philosophie". Stanford Encyclopedia of Philosophy . 2011-03-07 .
    


40. ^ Burton, David, Eine Geschichte der Mathematik: Eine Einführung McGraw Hill, 2010, ISBN 978-0 -07-338315-6
    


41. ^ Russell, Bertrand (2002) [First published in 1914 by The Open Court Publishing Company]. "Vortrag 6. Das Problem der Unendlichkeit historisch betrachtet". Unser Wissen über die Außenwelt: Als Feld für wissenschaftliche Methode in der Philosophie . Routledge. p. 169. ISBN 0-415-09605-7.
    


42. ^ Sudarshan, E. C. G .; Misra, B. (1977). "Das Paradoxon des Zeno in der Quantentheorie" (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 18 (4): 756–763. Bibcode: 1977JMP .... 18..756M. doi: 10.1063 / 1.523304.
    


43. ^ W. M. Itano; D.J. Heinsen; J.J. Bokkinger; D.J. Wineland (1990). "Quantum Zeno Effekt" (PDF) . PRA . 41 (5): 2295–2300. Bibcode: 1990PhRvA..41.2295I. doi: 10.1103 / PhysRevA.41.2295. Archiviert aus dem Original (PDF) am 20.07.2004 . 2004-07-23 .
    


44. ^ Khalfin, L. A. (1958). "Beitrag zur Zerfallstheorie eines quasi-stationären Staates". Sowjetischer Phys. JETP . 6 : 1053. Bibcode: 1958JETP .... 6.1053K
    


45. ^ Paul A. Fishwick, Hrsg. (1. Juni 2007). "15.6" Pathologische Verhaltensklassen "in Kapitel 15" Hybride dynamische Systeme: Modellierung und Ausführung "von Pieter J. Mosterman, The Mathworks, Inc.". Handbuch der dynamischen Systemmodellierung . Chapman & Hall / CRC Computer- und Informationswissenschaft (Hardcover Hrsg.). Boca Raton, Florida, USA: CRC Press. S. 15–22 bis 15–23. ISBN 978-1-58488-565-8 . 2010-03-05 .
    


46. ^ Lamport, Leslie (2002). Spezifizierende Systeme (PDF) . Addison-Wesley. p. 128. ISBN 0-321-14306-X . 2010-03-06 .
    


47. ^ abgerufen.
     19459169] Zhang, Jun; Johansson, Karl; Lygeros, John; Sastry, Shankar (2001). "Zeno-Hybridsysteme" (PDF) . Internationale Zeitschrift für robuste und nichtlineare Kontrolle . 11 (5): 435. doi: 10.1002 / rnc.592. Archiviert aus dem Original (PDF) am 11. August 2011 . 2010-02-28 .
    


48. ^ Franck, Cassez; Henzinger, Thomas; Raskin, Jean-Francois (2002). "Ein Vergleich von Steuerungsproblemen für zeitgesteuerte und hybride Systeme". Nach dem Original am 28. Mai 2008 archiviert . 2010-03-02 .
    

Referenzen [ edit ]

Externe Links [ edit ]

• Dowden, Bradley. "Zenos Paradoxa." Eintrag in der Internet-Enzyklopädie der Philosophie.


• Hazewinkel, Michiel, Hrsg. (2001) [1994]"Antinomy", Enzyklopädie der Mathematik Springer Science + Business Media BV / Verlag Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4


• Einführung in die mathematische Philosophie, Ludwig-Maximilians-Universität München


• Silagadze, ZK "Zeno meets modern science"


• Zenos Paradoxon: Achilles und die Schildkröte von Jon McLoone, Wolfram Demonstrations Project.


• Kevin Brown über Zeno und das Paradox der Bewegung


• Palmer, John (2008). "Zeno von Elea". Stanford Encyclopedia of Philosophy


• Dieser Artikel enthält Material aus Zenos Paradoxon auf PlanetMath, das unter der Creative Commons Attribution / Share-Alike License lizenziert ist.


• [19459152GrimeJames"Zeno'sParadox" Numberphile . Brady Haran.