sora aoi9a: Basis (lineare Algebra)

Derselbe Vektor kann in zwei verschiedenen Basen (violette und rote Pfeile) dargestellt werden.

In der Mathematik eine Menge $B$ von Elementen (Vektoren) in einem Vektor space $V$ wird als Basis bezeichnet, wenn jedes Element von $V$ auf einzigartige Weise als (endliche) lineare Kombination von Elementen von $geschrieben werden kann. B$ . Die Koeffizienten dieser linearen Kombination werden als -Komponenten oder -Koordinaten auf $B$ des Vektors bezeichnet. Die Elemente einer Basis werden Basisvektoren genannt.

Äquivalent $B$ ist eine Basis, wenn seine Elemente linear unabhängig sind und jedes Element von $V$ eine lineare Kombination von Elementen von $B$ ist Allgemeiner ausgedrückt ist eine Basis ein linear unabhängiger Spannsatz.

Ein Vektorraum kann im Allgemeinen mehrere Basen haben; Alle Basen haben jedoch die gleiche Anzahl von Elementen, die als Dimension des Vektorraums bezeichnet wird.

Definition [ edit ]

A Basis $B$ eines Vektorraums über einem Feld über einem Feld ] F (wie die reellen Zahlen $R$ oder die komplexen Zahlen $C$ ) ist eine linear unabhängige Teilmenge von $V$ V, die $V überspannt. 19659029]. Dies bedeutet, dass eine Teilmenge B von V eine Basis ist, wenn sie die beiden folgenden Bedingungen erfüllt:$

die lineare Unabhängigkeit Eigenschaft:

für jede endliche Teilmenge ${b 1 ..., b] n}$ von $B$ und alle $a 1 ..., a n$ in

F

wenn

a 1 b 1 + 1945 + a [1945652] n b n = 0

dann notwendigerweise

a 1 = \cdot\cdot\cdot = a n [19659036] = 0

;

für jeden (Vektor) $v$ in $V$ ist es möglich, $v 1 zu wählen. .., v n$ in $F$ und $b 1 ..., b [19659034] n$ in $B$ so dass [1965] 9004] v = v ₁ b ₁ + 1945 + v _n b 19659034] n .

Die Skalare $v i$ werden die Koordinaten des Vektors $v$ genannt in Bezug auf die Basis $B$ und durch die erste Eigenschaft werden sie eindeutig bestimmt.

Ein Vektorraum, der eine endliche Basis hat, wird als endlich-dimensional bezeichnet. In diesem Fall ist die Teilmenge ${b 1 ..., b n}$ die (zweimal) betrachtet wird. in der obigen Definition kann gewählt werden als $B$ selbst.

Es ist oft zweckmäßig, die Basisvektoren zu ordnen, typischerweise, wenn man die Koeffizienten eines Vektors auf einer Basis betrachtet, ohne explizit auf die Basiselemente zu verweisen. In diesem Fall ist die Reihenfolge erforderlich, um jeden Koeffizienten dem entsprechenden Basiselement zuzuordnen. Im Allgemeinen wird diese Reihenfolge durch die Nummerierung der Basiselemente implizit vorgenommen. Wenn zum Beispiel Matrizen verwendet werden, beziehen sich die Spalte $i$ und $i$ auf das $i$ te Element einer Basis eines Vektorraums. Um zu betonen, dass eine Ordnung gewählt wurde, spricht man von einer geordneten Basis die daher eher eine Folge als eine Menge ist; siehe Geordnete Basen und Koordinaten unten.

Beispiele [ edit ]

Dieses Bild veranschaulicht die Standardbasis in R ². Die blauen und orangefarbenen Vektoren sind die Elemente der Basis. der grüne Vektor kann in Form der Basisvektoren angegeben werden und ist daher linear von ihnen abhängig. a b ) + + + [[19659098] c d ) = ( a + c b + + d ) { displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}} ${ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),}$
und Skalarmultiplikation
${ displaystyle lambda (a, b) = ( lambda a, lambda b)}}$

wobei ${ displaystyle lambda}$ eine beliebige reelle Zahl ist. Eine einfache Basis dieses Vektorraums, die als Standardbasis bezeichnet wird, besteht aus den zwei Vektoren $e 1 = (1,0)$ und $e 2 = (0,1)$ seitdem ein Vektor $v = (a b)$ von $R 2$ kann eindeutig als geschrieben werden
${displaystyle v=ae_{1}+be_{2}.}$

Jedes andere Paar von linear unabhängigen Vektoren von $R 2$ wie $(1, 1)$ und $(- 1, 2)$ bilden auch eine Basis für R ² , wenn $F$ ein Feld ist, die Menge ${displaystyle F^{n}}$ von $n$ -Tupen von Elementen von $F$ ist ein Vektorraum für die ähnlich definierte Addition und Skalarmultiplikation.
${ displaystyle e_ {i} = (0, ldots, 0,1,0, ldots, 0)}$

sei das $n$ -tuple mit allen Bestandteilen gleich 0, außer dem $i$ th, der 1 ist. Dann ${ displaystyle e_ {1}, ldots, e_ {n}}$ ist eine Basis von ${ displaystyle F ^ {n},}$ die als Standardbasis von ${ displaystyle F ^ {n}.}$ ${ displaystyle B = {1, X, X ^ {2}, ldots }.}$

Jeder Satz von Polynomen, bei dem es genau ein Polynom jedes Grads gibt, ist auch eine Basis. Ein solcher Satz von Polynomen wird Polynomsequenz genannt. Beispiele (unter vielen) solcher Polynomsequenzen sind Bernstein-Basispolynome und Tschebyschew-Polynome.
Eigenschaften edit

Viele Eigenschaften endlicher Basen ergeben sich aus dem Steinitz-Austausch-Lemma gibt an, dass bei einer endlichen Spannweite $S$ und einer linear unabhängigen Teilmenge $L$ von $n$ Elementen von $S$ $ersetzt werden kann ] n$ gut gewählte Elemente von $S$ von den Elementen von $L$ um ein Spannset zu erhalten, das $L$ enthielt, mit seinen anderen Elementen in $S$ und mit der gleichen Anzahl von Elementen wie $S$ .
Die meisten Eigenschaften, die aus dem Steinitz-Austausch-Lemma resultieren, bleiben wahr, wenn es keine endliche Spannweite gibt, aber ihr Beweis im unendlichen Fall erfordert im Allgemeinen das Axiom der Wahl oder eine schwächere Form davon wie das Ultrafilter-Lemma.
Wenn $V$ ein Vektorraum über einem Feld ist $F$ dann:

Wenn $L$ eine linear unabhängige Teilmenge eines übergreifenden Satzes ist $S 012 V$ dann gibt es eine solche Basis $B$
${displaystyle Lsubseteq Bsubseteq S.}$

$V$ hat eine Basis (Dies ist die vorangegangene Eigenschaft mit $L$ als leerstehendem und $S = V$ ).

Alle Basen von $V$ haben die gleiche Kardinalität, die Dimension von $V$ genannt wird. Dies ist der Dimensionssatz.

Ein Generatorsatz $S$ ist eine Grundlage von $V$ wenn und nur dann, wenn sie minimal ist, dh keine geeignete Teilmenge von $S . ist auch eine Erzeugungsmenge von V .$

Eine linear unabhängige Menge $L$ ist eine Basis, wenn und nur dann, wenn sie maximal ist, d. H jeder linear unabhängige Satz.
Wenn $V$ ein Vektorraum der Dimension $n$ ist, dann:

Eine Untermenge von $V$ mit $n$ Elementen ist genau dann eine Basis, wenn sie linear unabhängig ist.

Eine Untermenge von $V$ mit $] n$ Elemente sind eine Basis, wenn und nur dann, wenn sie den Satz von $V$ .
umfassen. Koordinaten [ edit

. $V$ ein Vektorraum mit endlicher Dimension $n$ über einem Feld $F$ und

${displaystyle B={b_{1},ldots ,b_{n}}}$
sei eine Basis von $V$ . Nach Definition einer Basis kann für jedes $v$ in $V$ auf einzigartige Weise geschrieben werden:

${displaystyle v=lambda _{1}b_{1}+cdots +lambda _{n}b_{n},}$
wobei die Koeffizienten ${[displaystyle lambda _ {1}, ldots, lambda {n}}] 19659301] lambda _ {1}, ldots, lambda _ {n} "/>$ indem die Basiselemente nach den ersten natürlichen Zahlen indexiert werden. Dann bilden die Koordinaten eines Vektors eine ähnlich indizierte Sequenz, und ein Vektor ist vollständig durch die Koordinatenfolge charakterisiert. Eine geordnete Basis wird auch als -Frame bezeichnet, ein Wort, das in verschiedenen Zusammenhängen häufig verwendet wird, um auf eine Sequenz von Daten zu verweisen, die das Definieren von Koordinaten ermöglichen.
Wie üblich sei ${displaystyle F^{n}}$ der Satz von $n$ ] -Tupel von Elementen von $F$ . Dieses Set ist ein $F$ -Vektorraum mit additions- und skalarer Multiplikation, der komponentenweise definiert wird. Die Karte

${displaystyle varphi :(lambda _{1},ldots ,lambda _{n})mapsto lambda _{1}b_{1}+cdots +lambda _{n}b_{n}}$
ist ein linearer Isomorphismus aus dem Vektorraum ${displaystyle F^{n}}$ bis $V$ . Mit anderen Worten, ${ displaystyle F ^ {n}}$ ist der -Koordinatenraum von $V$ und das $n$ -tuple ${displaystyle varphi ^{-1}(v)}$ ist der Koordinatenvektor von $v$ .
Das inverse Bild von ${ displaystyle varphi}$ von ${19659204] ] b_ {i} "/>$ ${ displaystyle F ^ {n}.}$
Daraus geht hervor, dass jede geordnete Basis das Bild durch einen linearen Isomorphismus der kanonischen Basis von ${ displaystyle F ^ {n},} ist. 19659211] { displaystyle F ^ {n},} "/>$

Änderung der Basis [ edit ]

Es sei $V$ ein Vektorraum der Dimension ${ displaystyle B_ {n} = (w_ {1}, ldots, w_ {n})}$ in Bezug auf die Koordinaten in Bezug auf ${ displaystyle B_ {n}.}$ Dies kann durch die -Änderung der Basisformel erreicht werden, wird beschrieben b elow Die Indizes $o$ und $n$ wurden gewählt, weil es üblich ist, auf ${ displaystyle B_ {o}}$ als alte Basis und bis ${ displaystyle B_ {n}}$ ] als neue Basis . Es ist nützlich, die alten Koordinaten in Bezug auf die neuen zu beschreiben, weil man im Allgemeinen einen Ausdruck hat, in dem die alten Koordinaten durch diese Ausdrücke in den neuen Koordinaten ersetzt werden sollen, wodurch ein äquivalenter Ausdruck entsteht die neuen Koordinaten statt der alten.
Typischerweise werden die neuen Basisvektoren durch ihre Koordinaten über der alten Basis angegeben, d. H.

${ displaystyle w_ {j} = sum_ {i = 1} ^ {n} a_ {i, j} v_ {i}.}$
If ${ displaystyle (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ und ${displaystyle (y_{1},ldots ,y_{n})}$ sind die Koordinaten eines Vektors $v$ über die alte bzw. die neue Basis hat man jeweils

${displaystyle {begin{aligned}v&=sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\&=sum _{j=1}^{n}y_{j}sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\&=sum _{i=1}^{n}left(sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}right)v_{i}\&=sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},.end{aligned}}}$
] { displaystyle { begin {align} v & = sum _ {j = 1} ^ {n} y_ {j} w_ {j} \ & = sum _ {j = 1} ^ {n} y_ { j} sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, j} v_ {i} \ & = sum _ {i = 1} ^ {n} left ( sum _ {j = 1 } ^ {n} a_ {i, j} y_ {j} right) v_ {i} \ & = sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} v_ {i} ,. Ende {Ausrichten}}} ${ displaystyle { begin {Ausrichten} v & = sum _ {j = 1} ^ {n} y_ {j} w_ {j} \ & = s um _ {j = 1} ^ {n} y_ {j} sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, j} v_ {i} \ & = sum _ {i = 1} ^ {n} left ( sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} y_ {j} right) v_ {i} \ & = sum _ {i = 1} ^ {n } x_ {i} v_ {i} ,. end {align}}}$
Die Formel zum Ändern der Koordinaten in Bezug auf die andere Basis ergibt sich aus der Eindeutigkeit der Zerlegung eines Vektors über einer Basis und ist somit

${ displaystyle x_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i, j} y_ {j},}$
für $i = 1, ..., n$ .
Diese Formel kann kurz in Matrixschreibweise geschrieben werden. $A$ sei die Matrix von ${193.9119] { displaystyle a_ {i, j},}$ und

${displaystyle X={begin{pmatrix}x_{1}\vdots \x_{n}end{pmatrix}}quad }$ und ${displaystyle quad Y={begin{pmatrix}y_{1}\vdots \y_{n}end{pmatrix}}}$
n ] { displaystyle quad Y = { begin {pmatrix} y_ {1} \ vdots \ y_ {n} end {pmatrix}}} ${ displaystyle quad Y = { begin {pmatrix} y_ {1} \ vdots \ y_ {n} end {pmatrix}}}$
seien die Spaltenvektoren der Koordinaten von $v$ im alten und im jeweils neue Basis, dann ist die Formel zum Ändern der Koordinaten

${displaystyle X=AY.}$ edit ]
Freies Modul [ edit ]

Wenn man das in der Definition eines Vektorraums auftretende Feld durch einen Ring ersetzt, erhält man die Definition eines Moduls. Für Module werden lineare Unabhängigkeit und Spannsätze genau wie für Vektorräume definiert, obwohl "Generierungssatz" häufiger verwendet wird als "Spannsatz".
Wie für Vektorräume ist eine -Basis eines Moduls eine linear unabhängige Teilmenge, die auch eine Erzeugungsmenge ist. Ein wesentlicher Unterschied zur Theorie der Vektorräume besteht darin, dass nicht jedes Modul eine Basis hat. Ein Modul, das eine Basis hat, wird als freies Modul bezeichnet. Freie Module spielen eine grundlegende Rolle in der Modultheorie, da sie zur Beschreibung der Struktur nicht freier Module durch freie Auflösungen verwendet werden können.
Ein Modul über den ganzen Zahlen ist genau dasselbe wie eine abelsche Gruppe. Somit ist ein freies Modul über die ganzen Zahlen auch eine freie abelsche Gruppe. Freie abelsche Gruppen haben bestimmte Eigenschaften, die Module nicht über andere Ringe gemeinsam nutzen. Insbesondere ist jede Untergruppe einer freien abelschen Gruppe eine Gruppe, und wenn $G$ eine Untergruppe einer endlich erzeugten frei abelischen Gruppe ist $H$ (das ist eine abelsche Gruppe, die eine endliche Gruppe hat Basis) gibt es eine Basis ${displaystyle e_{1},ldots ,e_{n}}$ von $H$ und einer ganzen Zahl $0 \leq k \leq n$ so dass ${ displaystyle a_ {1} e_ {1}, ldots, a_ {k} e_ {k}}$ ist eine Basis von $G$ für einige Nicht-Null-Ganzzahlen ${ displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {k}.} [19659702] { displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {k}.} "/>$ Freie abelsche Gruppe. § Untergruppen.
Analyse [ edit ]
Im Zusammenhang mit unendlich-dimensionalen Vektorräumen über den reellen oder komplexen Zahlen wird der Begriff Hamel (nach Georg Hamel genannt) ) oder algebraische Basis kann verwendet werden, um sich auf eine in diesem Artikel definierte Basis zu beziehen. Dies ist zu unterscheiden zwischen anderen Begriffen der "Basis", die existieren, wenn unendlich dimensionale Vektorräume mit einer zusätzlichen Struktur versehen werden. Die wichtigsten Alternativen sind orthogonale Basen auf Hilbert-Räumen, Schauder-Basen und Markushevich-Basen auf normierten linearen Räumen. Im Fall der reellen Zahlen R die als Vektorraum über dem Feld Q rationaler Zahlen betrachtet werden, sind Hamel-Basen unzählbar und haben speziell die Kardinalität des Kontinuums, das ist die Kardinalzahl ${ displaystyle 2 ^ { aleph _ {0}}}}$ wobei ${ displaystyle aleph _ {0}}$ der kleinste ist unendlich Kardinal, der Kardinal der ganzen Zahlen.
Das gemeinsame Merkmal der anderen Begriffe ist, dass sie die Erzeugung von unendlichen Linearkombinationen der Basisvektoren ermöglichen, um den Raum zu erzeugen. Dies erfordert natürlich, dass unendlich viele Summen auf diesen Räumen sinnvoll definiert werden, wie dies bei topologischen Vektorräumen der Fall ist - einer großen Klasse von Vektorräumen, die z. Hilbert-Felder, Banach-Felder oder Fréchet-Felder.
Die Bevorzugung anderer Arten von Basen für unendlichdimensionale Räume wird durch die Tatsache gerechtfertigt, dass die Hamel-Basis in Banach-Räumen "zu groß" wird: Wenn X ein unendlichdimensionaler normierter Vektorraum ist abgeschlossen ist (dh X ist ein Banach-Feld), dann ist jede Hamel-Basis von X notwendigerweise unzählbar. Dies ist eine Folge des Satzes der Baire-Kategorie. Die Vollständigkeit sowie die unendliche Dimension sind entscheidende Annahmen im vorherigen Anspruch. In endlichdimensionalen Räumen gibt es definitionsgemäß endliche Basen, und es gibt unendlichdimensionale ( nicht vollständig ) normierte Räume mit zählbaren Hamel-Basen. Man betrachte ${displaystyle c_{00}}$ den Raum der Sequenzen ${ displaystyle x = (x_ {n})}$ "/> von reellen Zahlen, die nur endlich viele haben Nicht-Null-Elemente mit der Norm ${ displaystyle | x | = sup _ {n} | x_ {n} |.}$ Ihre Standardbasis, bestehend aus den Sequenzen, die nur ein Nicht-Null-Element haben, das gleich 1 ist, ist eine abzählbare Hamel-Basis.

Beispiel [ edit ]

Beim Studium der Fourier-Reihe erfährt man, dass die Funktionen {1} ∪ {Sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3, ...} sind eine "orthogonale Basis" des (realen oder komplexen) Vektorraums aller (realer oder komplexwertiger) Funktionen auf dem Intervall [0, 2π]das auf diesem Intervall quadratintegrierbar ist, dh Funktionen f erfüllen

$<math xmlns = "http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext = "{ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} left | f (x) rechts | ^ {2} , dx ∫ 0 2 π | f ( x )$ _{| 19659765] 2 d x <[1945 . { displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} left | f (x ) right | ^ {2} , dx < infty.} <img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdd774542bad1a0dcd834ac22b4968143a0c031" class = "mwe -math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -2.338ex; Breite: 20.615ex; height: 6.176ex; "alt =" int _ {0} ^ {2 pi} left | f (x) right | ^ {2} , dx}
Die Funktionen {1} ∪ {sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3, ...} sind linear unabhängig und jede Funktion f das auf [0, 2π] integrierbar ist, ist eine "unendliche lineare Kombination" von ihnen in dem Sinne

${displaystyle lim _{nrightarrow infty }int _{0}^{2pi }{biggl |}a_{0}+sum _{k=1}^{n}{bigl (}a_{k}cos(kx)+b_{k}sin(kx){bigr )}-f(x){biggr |}^{2},dx=0}$
für geeignetes ( reelle oder komplexe Koeffizienten a _k b _k. Viele [2] quadratintegrierbare Funktionen können jedoch nicht als endliche Linearkombinationen dieser Basisfunktionen dargestellt werden, die daher keine Hamel-Basis bilden. Jede Hamel-Basis dieses Raums ist viel größer als dieser nur zählbar unendliche Satz von Funktionen. Hamel-Basen von Räumen dieser Art sind normalerweise nicht nützlich, wohingegen orthonormale Basen dieser Räume für die Fourier-Analyse wesentlich sind.

Geometry [ edit ]

Die geometrischen Begriffe eines affinen Raums, eines projektiven Raums, eines konvexen Satzes und eines Kegels haben verwandte Begriffe von Basis . Eine affine Basis für einen -dimensionalen affinen Raum ist ${displaystyle n+1}$ zeigt die allgemeine lineare Position von . Eine projektive Basis ist ${displaystyle n+2}$ Punkte in der allgemeinen Position, in ein projektiver Raum der Dimension n . Eine konvexe Basis eines Polytops ist die Menge der Scheitelpunkte seiner konvexen Hülle. Eine Kegelbasis ^[4] besteht aus einem Punkt neben dem Rand eines Polygonkegels. Siehe auch Hilbert-Basis (lineare Programmierung).

Random basis[edit]

For a probability distribution in Rⁿ with a probability density function, such as the equidistribution in a n-dimensional ball with respect to Lebesgue measure, it can be shown that n randomly and independently chosen vectors will form a basis with probability one, which is due to the fact that n linearly dependent vectors x₁..., x_n in Rⁿ should satisfy the equation det[x₁..., x_n] = 0 (zero determinant of the matrix with columns x_i), and the set of zeros of a non-trivial polynomial has zero measure. This observation has led to techniques for approximating random bases.^[5]^[6]

Empirical distribution of lengths N of pairwise almost orthogonal chains of vectors that are independently randomly sampled from the n-dimensional cube [−1, 1]ⁿ as a function of dimension, n. Boxplots show the second and third quartiles of this data for each nred bars correspond to the medians, and blue stars indicate means. Red curve shows theoretical bound given by Eq. (1) and green curve shows a refined estimate.^[6]

It is difficult to check numerically the linear dependence or exact orthogonality. Therefore, the notion of ε-orthogonality is used. For spaces with inner product, x is ε-orthogonal to y if ${displaystyle |langle x,yrangle |/(|x||y|)<epsilon }$ (that is, cosine of the angle between x and y is less than ε).
In high dimensions, two independent random vectors are with high probability almost orthogonal, and the number of independent random vectors, which all are with given high probability pairwise almost orthogonal, grows exponentially with dimension. More precisely, consider equidistribution in n-dimensional ball. Choose N independent random vectors from a ball (they are independent and identically distributed). Let θ be a small positive number. Then for

${displaystyle Nleq e^{frac {epsilon ^{2}n}{4}}[-ln(1-theta )]^{frac {1}{2}}}$

(Eq. 1)

N random vectors are all pairwise ε-orthogonal with probability 1 − θ.^[6] This N growth exponentially with dimension n and ${displaystyle Ngg n}$ for sufficiently big n. This property of random bases is a manifestation of the so-called measure concentration phenomenon.[7]
The figure (right) illustrates distribution of lengths N of pairwise almost orthogonal chains of vectors that are independently randomly sampled from the n-dimensional cube [−1, 1]ⁿ as a function of dimension, n. A point is first randomly selected in the cube. The second point is randomly chosen in the same cube. If the angle between the vectors was within π/2 ± 0.037π/2 then the vector was retained. At the next step a new vector is generated in the same hypercube, and its angles with the previously generated vectors are evaluated. If these angles are within π/2 ± 0.037π/2 then the vector is retained. The process is repeated until the chain of almost orthogonality breaks, and the number of such pairwise almost orthogonal vectors (length of the chain) is recorded. For each n20 pairwise almost orthogonal chains where constructed numerically for each dimension. Distribution of the length of these chains is presented.

Proof that every vector space has a basis[edit]

Let V be any vector space over some field F.
Let X be the set of all linearly independent subsets of V.
The set X is nonempty since the empty set is an independent subset of V,
and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by $\subseteq$ .
Let Y be a subset of X that is totally ordered by $\subseteq$ ,
and let L_Y be the union of all the elements of Y (which are themselves certain subsets of V).
Since (Y⊆) is totally ordered, every finite subset of L_Y is a subset of an element of Y,
which is a linearly independent subset of V,
and hence every finite subset of L_Y is linearly independent.
Thus L_Y is linearly independent, so L_Y is an element of X.
Therefore, L_Y is an upper bound for Y in (X⊆):
it is an element of Xthat contains every element Y.
As X is nonempty, and every totally ordered subset of (X⊆) has an upper bound in XZorn's lemma asserts that X has a maximal element. In other words, there exists some element L_max of X satisfying the condition that whenever L_max ⊆ L for some element L of Xthen L = L_max.
It remains to prove that L_max is a basis of V. Since L_max belongs to Xwe already know that L_max is a linearly independent subset of V.
If L_max would not span Vthere would exist some vector w of V that cannot be expressed as a linear combination of elements of L_max (with coefficients in the field F). In particular, w cannot be an element of L_max.
Let L_w = L_max ∪ {w}. This set is an element of Xthat is, it is a linearly independent subset of V (because w is not in the span of L_maxand L_max is independent). As L_max ⊆ L_wand L_max ≠ L_w (because L_w contains the vector w that is not contained in L_max), this contradicts the maximality of L_max. Thus this shows that L_max spans V.
Hence L_max is linearly independent and spans V. It is thus a basis of Vand this proves that every vector space has a basis.
This proof relies on Zorn's lemma, which is equivalent to the axiom of choice. Conversely, it may be proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true; thus the two assertions are equivalent.

See also[edit]

^ Halmos, Paul Richard (1987). Finite-Dimensional Vector Spaces (4th ed.). New York: Springer. p. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.

^ Note that one cannot say "most" because the cardinalities of the two sets (functions that can and cannot be represented with a finite number of basis functions) are the same.

^ Rees, Elmer G. (2005). Notes on Geometry. Berlin: Springer. p. 7. ISBN 978-3-540-12053-7.

^ Kuczma, Marek (1970). "Some remarks about additive functions on cones". Aequationes Mathematicae. 4 (3): 303–306. doi:10.1007/BF01844160.

^ Igelnik, B.; Pao, Y.-H. (1995). "Stochastic choice of basis functions in adaptive function approximation and the functional-link net". IEEE Trans. Neural Netw. 6 (6): 1320–1329. doi:10.1109/72.471375. PMID 18263425.

^ ^a ^b ^c Gorban, A. N.; Tyukin, I. Yu.; Prokhorov, D. V.; Sofeikov, K. I. (2016). "Approximation with Random Bases: Pro et Contra". Information Sciences. 364–365: 129–145. arXiv:1506.04631. doi:10.1016/j.ins.2015.09.021.

^ Artstein, S. (2002). "Proportional concentration phenomena of the sphere" (PDF). Israel J. Math. 132 (1): 337–358. CiteSeerX 10.1.1.417.2375. doi:10.1007/BF02784520.

References[edit]

General references[edit]

Blass, Andreas (1984), "Existence of bases implies the axiom of choice", Axiomatic set theoryContemporary Mathematics volume 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 31–33, ISBN 978-0-8218-5026-8, MR 0763890

Brown, William A. (1991), Matrices and vector spacesNew York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5

Lang, Serge (1987), Linear algebraBerlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6
Historical references[edit]

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Bolzano, Bernard (1804), Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) (in German)

Bourbaki, Nicolas (1969), Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history of mathematics) (in French), Paris: Hermann

Dorier, Jean-Luc (1995), "A general outline of the genesis of vector space theory", Historia Mathematica22 (3): 227–261, doi:10.1006/hmat.1995.1024, MR 1347828

Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur (in Fre nch), Chez Firmin Didot, père et fils

Grassmann, Hermann (1844), Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (in German)reprint: Hermann Grassmann. Translated by Lloyd C. Kannenberg. (2000), Extension TheoryKannenberg, L.C., Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2031-5

Hamilton, William Rowan (1853), Lectures on QuaternionsRoyal Irish Academy

Möbius, August Ferdinand (1827), Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) (in German), archived from the original on 2009-04-12

Moore, Gregory H. (1995), "The axiomatization of linear algebra: 1875–1940", Historia Mathematica22 (3): 262–303, doi:10.1006/hmat.1995.1025

Peano, Giuseppe (1888), Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (in Italian), Turin
External links[edit]

Người đăng: sora aoi9a vào lúc 21:05
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