Cauchys integraler Satz - Wikipedia

In der Mathematik ist der Cauchy-Integralsatz (auch bekannt als Cauchy-Goursats Theorem ) in komplexer Analyse, benannt nach Augustin-Louis Cauchy (und Édouard Goursat), ein wichtige Aussage über Linienintegrale für holomorphe Funktionen in der komplexen Ebene. Im Wesentlichen heißt es, dass, wenn zwei verschiedene Pfade die gleichen zwei Punkte verbinden und eine Funktion überall zwischen den beiden Pfaden holomorph ist, die beiden Pfadintegrale der Funktion gleich sind.

Aussage des Satzes [ edit ]

Der Satz wird normalerweise für geschlossene Pfade wie folgt formuliert: Sei U U C das einfach verbunden ist, sei f : U → C eine holomorphe Funktion, und ${\displaystyle \mathrm{\gamma \; <!--\; \gamma \; -->}}$ sei ein korrigierbarer Pfad in U dessen Startpunkt gleich seinem Endpunkt ist. Dann

${\displaystyle {\text{19 <!-- ∮ -->}}_{\mathrm{\gamma \; <!--\; \gamma \; -->}}19\; <!--\; \; -->f(z)dz=\; 19659019]\; 19659019]\; 19659019]\; displaystyle\; oint\; \_\; \{\; gamma\}\; f\; (z)\; ,\; dz\; =\; 0.\}}$

Eine genaue Homologie () Version kann mit Wicklungsnummern angegeben werden. Die Wicklungszahl einer geschlossenen Kurve um einen Punkt a die nicht auf der Kurve liegt, ist das Integral von f ( z ) / (2 π [19459009)] i), wobei f ( z ) = 1 / ( z - a ) um die Kurve liegt. Es ist eine ganze Zahl.
Kurz gesagt ist das Wegintegral entlang einer Jordan-Kurve einer holomorphen Funktion im Inneren der Kurve gleich Null. Anstelle eines einzelnen geschlossenen Pfads können wir eine lineare Kombination von geschlossenen Pfaden betrachten, bei denen die Skalare Ganzzahlen sind. Eine solche Kombination wird als geschlossene Kette bezeichnet, und eine definiert ein Integral entlang der Kette als lineare Kombination von Integralen über einzelne Pfade. Eine geschlossene Kette wird in einer Region als Zyklus bezeichnet, wenn sie in der Region zu Null homolog ist; das heißt, die Wicklungszahl, ausgedrückt durch das Integral von 1 / ( z a ) über der geschlossenen Kette, ist für jeden Punkt "a", der nicht in der Region liegt, Null. Dies bedeutet, dass sich die geschlossene Kette nicht um Punkte außerhalb der Region windet. Dann kann der Satz von Cauchy als das Integral einer Funktion bezeichnet werden, die holomorph in einer offenen Menge ist, die um einen beliebigen Zyklus in der offenen Menge genommen wird, Null ist. Ein Beispiel ist der ringförmige Bereich. Diese Version ist entscheidend für die strikte Ableitung der Laurent-Serie und der Cauchy-Restformel, ohne dass physikalische Vorstellungen wie Kreuzschnitte oder Deformationen erforderlich sind. Die Version ermöglicht die Erweiterung des Satzes von Cauchy zur analytischen Multiplikation verbundener Regionen.

Diskussion [ edit ]

Wie von Édouard Goursat gezeigt wurde, kann der Cauchy'sche Integralsatz nur unter der Annahme belegt werden, dass das komplexe Derivat f ′ z ) existiert überall in U . Dies ist insofern von Bedeutung, als man dann die Cauchy'sche Integralformel für diese Funktionen nachweisen kann und daraus ableiten kann, dass diese Funktionen tatsächlich unendlich differenzierbar sind.

Die Bedingung, dass U einfach verbunden werden kann, bedeutet, dass U keine "Löcher" aufweist oder, in homotopischen Begriffen, die grundlegende Gruppe von U trivial ist ; zum Beispiel jede offene Platte <math xmlns = "http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext = "{ displaystyle U = {z: | z-z_ {0} | U = { z : | z - 19659037] z 0 | ] r } { displaystyle U = {z: | z-z_ {0} | <r }} <img src = "https://wikimedia.org/api/rest_v1 / media / math / render / svg / 5756b456d058d91ac374ad59c1b17ed3247cecff "class =" mwe-math-fallback-image-inline "aria-hidden =" true "style =" vertical-align: -0.838ex; Breite: 21.736ex; height: 2.843ex; "alt =" U = {z: | z-z_ {0} | qualifiziert. Der Zustand ist entscheidend; Erwägen

${19659062] {19659062] { displaystyle gamma (t) = e ^ {it} quad t in left [0,2pi right]}$

Einheitskreis und dann das Pfadintegral