Dulmage-Mendelsohn-Zerlegung - Wikipedia

In der Graphentheorie ist die Dulmage-Mendelsohn-Zerlegung eine Unterteilung der Scheitelpunkte eines zweiteiligen Graphen in Teilmengen, mit der Eigenschaft, dass zwei benachbarte Scheitelpunkte nur dann zur gleichen Teilmenge gehören, wenn sie gepaart sind miteinander in einer perfekten Übereinstimmung der Grafik. Es ist nach A. L. Dulmage und Nathan Mendelsohn benannt, der es 1958 veröffentlichte. Eine Verallgemeinerung für jeden Graphen ist die Edmonds-Gallai-Zerlegung unter Verwendung des Blossom-Algorithmus.

Die grobe Zersetzung [ edit ]

Lassen Sie G = ( U V V E ) ein zweigeteilter Graph sein, und sei D die Menge von Knoten in G die in mindestens einer maximalen Übereinstimmung von G nicht übereinstimmen. .
Dann ist D notwendigerweise ein unabhängiger Satz, so dass G in drei Teile unterteilt werden kann:

• Die Scheitelpunkte in D [1945 U und ihre Nachbarn


• Die Scheitelpunkte in D V und ihre Nachbarn


• Die verbleibenden Ecken

Jedes Maximum, das in G übereinstimmt, besteht aus Übereinstimmungen im ersten und zweiten Teil, die mit allen Nachbarn von D übereinstimmen, zusammen mit einer perfekten Übereinstimmung der verbleibenden Ecken.

Die feine Zerlegung [ edit ]

Der dritte Satz von Scheitelpunkten in der groben Zerlegung (oder alle Scheitelpunkte in einem Graphen mit perfektem Abgleich) können zusätzlich durch die Unterteilung in Teilmengen unterteilt werden folgende schritte:

• Finden Sie eine perfekte Übereinstimmung von G .


• Bilden Sie einen gerichteten Graphen H dessen Ecken die zusammenpassenden Kanten in G sind. Für jede nicht übereinstimmende Kante ( u gegen ) in G fügen Sie eine gerichtete Kante in H von der Übereinstimmungskante von hinzu. u an die angepasste Kante von und .


• Finden Sie die stark verbundenen Komponenten des resultierenden Graphen.


• Für jede Komponente von H bilden Sie eine Untermenge Dulmage-Mendelsohn-Zerlegung bestehend aus den Scheitelpunkten in G die Endpunkte von Kanten in der Komponente sind.

Um zu sehen, dass diese Unterteilung in Teilmengen die Kanten charakterisiert, die zu perfekten Übereinstimmungen gehören, nehmen zwei Scheitelpunkte an u und v in G gehören zu der gleichen Teilmenge der Zerlegung, sind jedoch nicht bereits mit der anfänglichen perfekten Übereinstimmung übereinstimmend. Dann existiert in H das edge uv enthält, eine stark verbundene Komponente. Diese Kante muss zu einem einfachen Zyklus in H (durch Definition von starker Konnektivität) gehören, der notwendigerweise einem alternierenden Zyklus in G entspricht (einem Zyklus, dessen Kanten zwischen übereinstimmenden und nicht übereinstimmenden Kanten wechseln ). Dieser alternierende Zyklus kann verwendet werden, um die anfängliche perfekte Anpassung zu modifizieren, um eine neue passende enthaltende Kante zu erzeugen uv .

Eine Kante uv des Diagramms G gehört zu allen perfekten Übereinstimmungen von G wenn und nur wenn u und ] v sind die einzigen Mitglieder ihres Satzes in der Zerlegung. Eine solche Kante existiert nur dann, wenn die übereinstimmende Ausschlussnummer des Graphen eins ist.

Als eine weitere Komponente der Dulmage-Mendelsohn-Zerlegung definierten Dulmage und Mendelsohn den -Kern eines Graphen als Vereinigung seiner maximalen Übereinstimmungen. ^[1] Dieses Konzept sollte jedoch vom Kern unterschieden werden im Sinne von Graph-Homomorphismen und aus dem k -Kern, der durch das Entfernen niederer Scheitelpunkte gebildet wird.

Anwendungen [ edit ]

Diese Zerlegung wurde verwendet, um Netze in der Finite-Elemente-Analyse aufzuteilen und um bestimmte, unter- und überspezifizierte Gleichungen in Systemen nichtlinearer Gleichungen zu bestimmen.

Verweise [ edit ]

Externe Links [ edit

• Eine gute Erklärung für ihre Anwendung auf Systeme nichtlinearer Gleichungen ist in verfügbar diesem Aufsatz: [1]


• Eine Open-Source-Implementierung des Algorithmus ist als Teil der Bibliothek mit geringer Matrix verfügbar: SPOOLES


• Graphentheoretische Aspekte des Constraint-Lösens im SST-Projekt: [2]