sora aoi9a: Laplace-Matrix

Auf dem mathematischen Gebiet der Graphentheorie die Laplace-Matrix manchmal als Admittanzmatrix Kirchhoff-Matrix oder diskretes Laplacian bezeichnet. ist eine Matrixdarstellung eines Graphen. Die Laplace-Matrix kann verwendet werden, um viele nützliche Eigenschaften eines Graphen zu finden. Zusammen mit dem Satz von Kirchhoff kann er verwendet werden, um die Anzahl der Spannbäume für einen bestimmten Graphen zu berechnen. Der sparsamste Schnitt eines Graphen kann durch den zweitkleinsten Eigenwert seines Laplace-Werts durch Cheegers Ungleichung angenähert werden. Es kann auch zum Erstellen von Einbettungen mit geringen Abmessungen verwendet werden, was für eine Vielzahl von maschinellen Lernanwendungen nützlich sein kann.

Definition [ edit ]

Laplace-Matrix für einfache Graphen [ edit ]

. G mit n Ecken, ihre Laplace-Matrix ${19659011] { n times n}} 19659012] { textstyle L_ {n times n}} "/>$

{displaystyle L=D-A,}

Wobei D die Matrix mit dem -Menü und A die Adjazenzmatrix des Graphen ist. Seit ${ textstyle G}$ ist ein einfacher Graph, ${[textstyle A]$ sind gegeben durch

{ displaystyle L_ {i, j} : = { begin {cases} deg (v_ {i}) & { mbox {wenn}} i = j \ - 1 & { mbox {wenn}} i neq j { mbox {und }} v_ {i} { mbox {grenzt an}} v_ {j} \ 0 & { mbox {ansonsten}} end {cases}}}

wo deg ( v _i) ist der Grad des Scheitelpunkts i .

Symmetrisch normalisierter Laplace-Operator [ edit ]

Die symmetrisch normalisierte Laplace-Matrix ist definiert als: ^[1]

{[displaystyleL^{text{sym}}:=D^{-{frac{1}{2}}}LD^{-{frac{1}{2}}}=ID^{-{frac{1}{2}}}AD^{-{frac{1}{2}}}}

Die Elemente von ${ textstyle L ^ { text {sym}}}$ sind gegeben von

{displaystyle L_{i,j}^{text{sym}}:={begin{cases}1&{mbox{if }}i=j{mbox{ and }}deg(v_{i})neq 0\-{frac {1}{sqrt {deg(v_{i})deg(v_{j})}}}&{mbox{if }}ineq j{mbox{ and }}v_{i}{mbox{ is adjacent to }}v_{j}\0&{mbox{otherwise}}.end{cases}}}

19659123] und deg ⁡ ( v i ] 0 1 ( v i ) deg 19 ( v j ) wenn 19659146] 19659009][1945 j und v i grenzt an v j 0 oder 19659598 ] { displaystyle L_ {i, j} ^ { text {sym}}: = { begin {cases} 1 & { mbox {if}} i = j { mbox {und}} deg (v_ {i }) neq 0 \ - { frac {1} { sqrt { deg (v_ {i}) deg (v_ {j})}}} & { mbox {if}} i neq j { mbox {und}} v_ {i} { mbox {grenzt an}} v_ {j} \ 0 & { mbox {ansonsten}}. end {cases}}}

{ displaystyle L_ {i , j} ^ { text {sym}}: = { begin {cases} 1 & { mbox {wenn}} i = j { mbox {und}} deg (v_ {i}) neq 0 \ - { frac {1} { sqrt { deg (v_ { i}) deg (v_ {j})}} & { mbox {if}} i neq j { mbox {und}} v_ {i} { mbox {grenzt an}} v_ {j} \ 0 & { mbox {ansonsten}}. End {cases}}

Zufallsweg normalisierter Laplacian [ edit ] 19659077] Die normalisierte Laplace-Matrix für zufällige Spaziergänge ist definiert als:

${ displaystyle L ^ { text {rw}}: = D ^ {- 1} L = ID ^ {- 1} A}$
Die Elemente von ${ textstyle L ^ { text {rw}}}$ sind gegeben durch

${displaystyle L_{i,j}^{text{rw}}:={begin{cases}1&{mbox{if }}i=j{mbox{ and }}deg(v_{i})neq 0\-{frac {1}{deg(v_{i})}}&{mbox{if }}ineq j{mbox{ and }}v_{i}{mbox{ is adjacent to }}v_{j}\0&{mbox{otherwise}}.end{cases}}}$

Generalized Laplacian [ bearbeiten ]

Der generalisierte Laplacian, Q ist definiert als ^[2]:

${ displaystyle { begin {cases} Q_ {i, j} <0 & { mbox {if}} i neq j { mbox {und}} v_ {i} { mbox {grenzt an }} v_ {j} \ Q_ {i, j} = 0 & { mbox {wenn}} i neq j { mbox {und}} v_ {i} { mbox {grenzt nicht an}} v_ { j} \ { mbox {beliebige Nummer}} & { mbox {ansonsten}}. end {cases}}}$
Beachten Sie, dass der gewöhnliche Laplacianer ein verallgemeinerter Laplacianer ist.

Beispiel [ edit ]

Hier ist ein einfaches Beispiel eines beschrifteten, ungerichteten Graphen und seiner Laplace-Matrix.

Beschriftetes Diagramm
Gradmatrix
Adjazenzmatrix
Laplace-Matrix

${196]. {196] (1) )}$ 1 1 0 1 0 0 0 ] 0 0 0 1 0 0 ]) {19] textstyle left ({ begin {array} {rrrrrrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 &. 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & l & rs. & L & rs; & l & rs; & l & rs; & l & & & & & &;; & rs; & l & rs; & l & rs; & r & s & rs; & r & s & rs; & end & l & rs; & r & s & rs; & r & s & rs; & r & s & rs; & r) & r & s & l & rs; & r & s & rs; & r u00dz;) & r & a; \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} right)} "/> ${19659322] { textstyle left ({ begin {array}) {rrrrrrrrrrrr} 2 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 \ - 1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 3 & -1 & 1 -1 - 1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \ end {array}} right)}$

Eigenschaften [ edit ]

Für einen (ungerichteten) Graphen G G und sein Lapplus Matrix L mit Eigenwerten $λ 1 ≤ λ n - 1 { textstyle lambda _ {0} leq lambda _ {1} leq cdots leq lambda _ {n-1}}$ :

L ist symmetrisch.

L ist positiv-semidefinit (d. H. ${textstyle lambda _{i}geq 0}$ für alle ${ textstyle i} [19659274]$ der Inzidenzmatrix (unten) bestätigt. Dies ist auch aus der Tatsache ersichtlich, dass der Laplace-Operator symmetrisch und diagonal dominant ist.
L ist eine M-Matrix (ihre nicht-diagonalen Einträge sind nicht positiv, die realen Teile ihrer Eigenwerte sind jedoch nicht negativ). 19659450] Jede Reihen- und Spaltensumme von L ist Null. In der Summe wird der Grad des Scheitelpunkts mit einem "-1" für jeden Nachbarn summiert.
${textstyle lambda _{0}=0}$ weil der Vektor $(19659032) (19659032) (19659903) {v} _ {0} = (1,1, dots, 1)}$ Dies impliziert auch, dass die Laplace-Matrix singulär ist.

Die Anzahl von Verbundene Komponenten im Diagramm sind die Dimension des Nullraums des Laplace-Operators und die algebraische Multiplizität des Eigenwerts 0. [19659450] Der kleinste Nicht-Null-Eigenwert von L wird als spektrale Lücke bezeichnet.

Der zweitkleinste Eigenwert von L (könnte Null sein) ist die algebraische Konnektivität (oder der Fiedler-Wert) ) von G und approximiert den dünnsten Schnitt eines Graphen.

Der Laplace-Operator ist ein Operator für den n-dimensionalen Vektorraum von Funktionen ${ textstyle f: V bis mathbb {R}}$ wobei ${ textstyle V}$ ist die Scheitelpunktmenge von G und ${ textstyle n = | V |}$ .

Wenn G k-regulär ist, lautet der normalisierte Laplacian: ${textstyle {mathcal {L}}={tfrac {1}{k}}L=I-{tfrac {1}{k}}A}$ wobei A die Adjazenzmatrix und I eine Identitätsmatrix ist.

Für ein Diagramm mit mehreren verbundenen Komponenten ist L eine Blockdiagonalmatrix, wobei jeder Block die jeweilige Laplace-Matrix für jede Komponente ist, möglicherweise nach dem Umordnen der Scheitelpunkte (d. h L ist permutationsähnlich einer Blockdiagonalmatrix.)

Die Spur der Laplace-Matrix L ist gleich ${textstyle 2m}$ wobei ${ textstyle m}$ die Anzahl der Kanten ist der betrachtete Graph.

Beschriftetes Diagramm	Gradmatrix	Adjazenzmatrix	Laplace-Matrix
	${196]. {196] (1) )}$	1 1 0 1 0 0 0 ] 0 0 0 1 0 0 ]) {19] textstyle left ({ begin {array} {rrrrrrr} 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 &. 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & l & rs. & L & rs; & l & rs; & l & rs; & l & & & & & &;; & rs; & l & rs; & l & rs; & r & s & rs; & r & s & rs; & end & l & rs; & r & s & rs; & r & s & rs; & r & s & rs; & r) & r & s & l & rs; & r & s & rs; & r u00dz;) & r & a; \ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} right)} "/>	${19659322] { textstyle left ({ begin {array}) {rrrrrrrrrrrr} 2 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 \ - 1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 3 & -1 & 1 -1 - 1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \ end {array}} right)}$

Inzidenzmatrix [ edit ]

Definieren Sie ein ${textstyle |e|times |v|}$ "/> Einfallmatrix M mit Element M _ev für edge und (Verbindungsscheitel i und j mit > j ) und Scheitelpunkt v gegeben von

{ displaystyle M_ {ev} = left {{ begin {array} {rl} 1, & { text {if}} v = i \ - 1, & { text {wenn}} v = j \ 0, & { text {andernfalls}}. end {array}} right.}

Dann erfüllt die Laplace-Matrix L

{displaystyle L=M^{textsf {T}}M,,}

wobei ${textstyle M^{textsf {T}}}$ ist die -Matrix-Transponierung von M .

Betrachten wir nun eine Zusammensetzung von ${ textstyle L}$ mit Eigenvektoren der Einheitennorm $i i . textstyle mathbf {v} _ {i}}$ und entsprechende Eigenwerte ${ textstyle lambda _ {i}}$ :

{ displaystyle { begin {align} lambda _ {i} & = mathbf {v} _ {i} ^ { textsf {T}} L mathbf {v} _ {i} \ & = mathbf {v} _ {i} ^ { textsf {T}} M ^ { textsf {T}} M mathbf {v} _ {i} \ & = left (M mathbf {v} _ {i} right) ^ { textsf {T}} left (M mathbf {v} _ {i} right). \ end {align}}} [19659274]

Denn ${ textstyle lambda _ {i}}$ kann als inner geschrieben werden Produkt des Vektors ${ textstyle M mathbf {v} _ {i}}$ mit sich selbst zeigt dies, dass ${ textstyle lambda _ {i} geq 0}$ und damit die Eigenwerte von ${ textstyle L}$ sind alle nicht negativ.

Deformiertes Laplacian [ edit ]

Das deformierte Laplacian wird allgemein als definiert

${displaystyle Delta (s)=I-sA+s^{2}(D-I)}$ Δ ( s ) = I I I - [19456542] 19659016] s A + s 2 (19659016) D - I I I (s) = I-sA + s ^ {2} (DI)} ${ displaystyle Delta (s) = I-sA + s ^ {2} (DI)}$
wobei I ist die Einheitsmatrix, A ist die Adjazenzmatrix und D ist die Gradmatrix, und s ist (komplexwertig) ) Nummer. Es ist zu beachten, dass der Standard Laplacian nur ${1945] [1945] [19456532] [ textstyle Delta (1)]$ . [3]

Symmetrisch normalisiertes Laplacian [ edit ]

Das (symmetrisch) normalisierte Laplacian wird als definiert

${ displaystyle L ^ { text {sym}}: = D ^ {- { frac {1} {2}}} LD ^ {- { frac {1} {2}}} = ID ^ {- { frac {1} {2}}} AD ^ {- { frac {1} {2}}}$
wobei L der (unnormalisierte) Laplacian ist, A ] ist die Adjazenzmatrix und D ist die Gradmatrix. Da die Gradientenmatrix D diagonal und positiv ist, ist ihre reziproke Quadratwurzel ${ textstyle D ^ {- { frac { 1} {2}}}}$ ist nur die diagonale Matrix, deren diagonale Einträge die Kehrwerte des Positiven sind Quadratwurzeln der Diagonaleinträge von D . Das symmetrisch normalisierte Laplace-Modell ist eine symmetrische Matrix.
Einer hat: ${19] { textstyle L ^ { text {sym}} = SS ^ {*] }}$ wobei S die Matrix ist, deren Zeilen durch die Scheitelpunkte indiziert sind und deren Spalten durch den Index indiziert sind Kanten von G, so dass jede Spalte, die einer Kante e = {u, v} entspricht, einen Eintrag hat ${ textstyle { frac {1} { sqrt {d_ {u}}}}}$ in der Zeile entsprechend u, ein Eintrag ${ textstyle - { frac {1} { sqrt {d_ {v}}}}}$ in der Zeile, die v entspricht, und hat an anderer Stelle 0 Einträge. (Anmerkung: ${ textstyle S ^ {*}}$ bezeichnet die Transponierte von S).
Alle Eigenwerte des normalisierten Laplace-Operators sind reell und nicht negativ. Wir können das wie folgt sehen. Da ${ textstyle L ^ { text {sym}}}$ symmetrisch ist, sind ihre Eigenwerte echt. Sie sind auch nicht negativ: Betrachten Sie einen Eigenvektor ${ textstyle g}$ von ${19659108] { textstyle L ^ { text {sym}}}$ mit Eigenwert λ und angenommen ${ textstyle g = D ^ { frac {1} {2}} f}$ . (Wir können g und f als reale Funktionen auf den Vertices v betrachten.) Dann:

${ displaystyle lambda = { frac { langle g, L ^ { text {sym}} g rangle} { langle g, g rangle}} = { frac { left langle g, D ^ {- { frac {1} {2}}} LD ^ {- { frac {1} {2}}} g right rangle} { langle g, g rangle}} = { frac { langle f, Lf rangle} { left langle D ^ { frac {1} {2}} f, D ^ { frac {1} {2}} f right rangle}} = { frac { sum _ {u sim v} (f (u) -f (v)) ^ {2} } { sum _ {v} f (v) ^ {2} d_ {v}}} geq 0,}$ ${ displaystyle lambda = { frac { langle g , L ^ { text {sym}} g rangle} { langle g, g rangle}} = { frac { left langle g, D ^ {- { frac {1} {2} }} LD ^ {- { frac {1} {2}}} g right rangle} { langle g, g rangle}} = { frac { langle f, Lf rangle} { left langle D ^ { frac {1} {2}} f, D ^ { frac {1} {2}} f right rangle}} = { frac { sum _ {u sim v} (f (u) -f (v)) ^ {2}} { sum _ {v} f (v) ^ {2} d_ {v}}} geq 0}}$
wobei wir benutzen t Das innere Produkt ${ textstyle langle f, g rangle = sum _ {v} f (v) g (v)}$ eine Summe über alle Scheitelpunkte v und [19659891] 19 u ∼ v { textstyle sum _ {u sim v}} $<img src=$ bezeichnet die Summe aller ungeordneten Paare benachbarter Scheitelpunkte {u, v}. Die Menge ${ textstyle sum _ {u, v} (f (u) - f (v)) ^ {2}} 19659274]$ $] { textstyle { frac { left langle g, L ^ { text {sym}} g right rangle} { langle g, g rangle}}}$ wird Rayleigh genannt Quotient von g.
Sei 1 die Funktion, die an jedem Scheitelpunkt den Wert 1 annimmt. Dann ${textstyle D^{frac {1}{2}}1}$ ist eine Eigenfunktion von ${ textstyle L ^ { text {sym}}}$ mit Eigenwert 0. [4]
Tatsächlich genügen die Eigenwerte des normalisierten symmetrischen Laplace-Operators 0 = μ _{0 _{≤… ≤ μ _{n − 1} ≤ 2. Diese Eigenwerte (bekannt als das Spektrum des normalisierten Laplacian) stehen in guter Relation zu anderen Graphinvarianten für allgemeine Graphen. ^[5]}}

Random Walk normalized Laplacian edit ]

Der zufällig normalisierte Laplacian wird als definiert

${displaystyle L^{text{rw}}:=D^{-1}L}$
wobei D die Gradmatrix ist. Da die Gradmatrix D diagonal ist, ist ihre Inverse ${ textstyle D ^ {- 1}}$ wird einfach als eine Diagonalmatrix definiert, die diagonale Einträge aufweist, die die Kehrwerte der entsprechenden positiven diagonalen Einträge von D sind.
Für die isolierten Ecken (die mit dem Grad 0) ist es üblich, das entsprechende Element zu setzen ${ textstyle L_ {i, i} ^ { text {rw}}}$ auf 0.
Diese Konvention führt zu einer schönen Eigenschaft, dass die Multiplizität des Eigenwerts 0 gleich der Anzahl der verbundenen Komponenten im Graphen ist.
Die Matrixelemente von ${ textstyle L ^ { text {rw}}}$ sind gegeben durch

${ displaystyle L_ {i, j} ^ { text {rw}}: = { begin {cases} 1 & { mbox {if}} i = j { mbox {und}} deg (v_ {i}) neq 0 \ - { frac {1} { deg (v_ {i})}} & { mbox {wenn} } i neq j { mbox {und}} v_ {i} { mbox {grenzt an}} v_ {j} \ 0 & { mbox {sonst}}. end {cases}}}$