In der Quantenfeldtheorie beschreibt ein nichtlineares σ Modell ein Skalarfeld [1945das Werte in einem nichtlinearen Mannigfaltig namens Zielsammler annimmt T . Das nichtlineare σ -Modell wurde von Gell-Mann & Lévy (1960, Abschnitt 6) eingeführt und nach einem Feld benannt, das einem spinless-Meson mit dem Namen σ in seinem Modell entspricht [1]
Beschreibung [ edit ]
Der Zielverteiler T ist mit einer Riemannschen Metrik g ausgestattet. Σ ist eine differenzierbare Karte aus dem Minkowski-Raum M (oder einem anderen Raum) bis T .
Die Lagrange-Dichte in zeitgenössischer chiraler Form [2] ist gegeben durch
wo wir eine + - - - metrische Signatur verwendet haben und die partielle Ableitung ∂Σ angegeben ist durch einen Abschnitt des Düsenbündels von T × M und V ist das Potenzial.
In der Koordinatennotation mit den Koordinaten Σ a a = 1, ..., n n n ist die Dimension von T ,
In mehr als zwei Dimensionen enthalten nichtlineare σ -Modelle eine dimensionale Kopplungskonstante und sind daher nicht störend renormalisierbar.
Dennoch zeigen sie einen nicht trivialen ultravioletten Fixpunkt der Renormierungsgruppe sowohl in der Gitterformulierung [3][4] als auch in der von Kenneth G. Wilson ursprünglich vorgeschlagenen doppelten Expansion [5]
Ansätze betrachtet, ist der nicht triviale Renormalisierungsgruppen-Festpunkt, der für das O (n) -symmetrische Modell gefunden wurde, einfach in Abständen von mehr als zwei, den kritischen Punkt zu beschreiben, der die geordnete von der ungeordneten Phase trennt. Außerdem können die verbesserten Vorhersagen der Gitter- oder Quantenfeldtheorie dann mit Laborexperimenten zu kritischen Phänomenen verglichen werden, da das Modell O (n) physikalische Heisenberg-Ferromagnete und verwandte Systeme beschreibt. Die obigen Ergebnisse weisen daher auf ein Versagen der naiven Störungstheorie bei der korrekten Beschreibung des physikalischen Verhaltens des O (n) -symmetrischen Modells über zwei Dimensionen hin und auf die Notwendigkeit ausgefeilterer nicht-störender Methoden wie z die Gitterformulierung.
Dies bedeutet, dass sie nur als effektive Feldtheorien auftreten können. Um die Entfernungsskala herum ist eine neue Physik erforderlich, bei der die mit zwei Punkten verbundene Korrelationsfunktion in derselben Größenordnung wie die Krümmung des Zielsammlers liegt. Dies wird als UV-Ergänzung der Theorie bezeichnet. Es gibt eine spezielle Klasse nichtlinearer σ-Modelle mit der internen Symmetriegruppe G *. Wenn G eine Lie-Gruppe ist und H eine Lie-Untergruppe ist, dann ist der Quotientenraum G / H H ein Mannigfaltiger bestimmte technische Einschränkungen wie H als geschlossene Teilmenge) und ist auch ein homogener Raum von G oder mit anderen Worten eine nichtlineare Realisierung von G . In vielen Fällen können G / H mit einer Riemannschen Metrik ausgestattet werden, die G -Invariante ist. Dies ist beispielsweise immer der Fall, wenn G kompakt ist. Ein nichtlineares σ-Modell mit G / H als Zielverteiler mit einer G -invarianten Riemannschen Metrik und einem Nullpotential wird als nichtlinearer Quotientenraum (oder Coset-Space) σ bezeichnet.
Bei der Berechnung von Pfadintegralen muss das Funktionsmaß mit der Quadratwurzel der Determinante von g [gewichtet] werden .
Renormalization [ edit ]
Dieses Modell erwies sich in der Stringtheorie als relevant, wenn die zweidimensionale Mannigfaltigkeit genannt wird Weltsheet . Die Anerkennung der generalisierten Renormalisierbarkeit wurde von Daniel Friedan zur Verfügung gestellt. [6] Er zeigte, dass die Theorie eine Renormierungsgruppengleichung der führenden Ordnung der Störungstheorie in der Form zulässt
R ab ; Ricci-Tensor des Zielverteilers.
Dies stellt einen Ricci-Fluss dar, der Einstein-Feldgleichungen für den Zielkrümmer als festen Punkt befolgt. Die Existenz eines solchen festen Punktes ist relevant, da er in dieser Ordnung der Störungstheorie einräumt, dass die Konformitätsinvarianz nicht aufgrund von Quantenkorrekturen verloren geht, so dass die Quantenfeldtheorie dieses Modells sinnvoll ist (renormalisierbar).
Das Hinzufügen von nichtlinearen Wechselwirkungen, die geschmacklich-chirale Anomalien repräsentieren, führt zu dem Modell Wess-Zumino-Witten, [7] welches
erweitert die Geometrie der Strömung um Torsion, wodurch die Renormalisierbarkeit erhalten bleibt und aufgrund von Teleparallelismus ("Geometrostase") auch zu einem Infrarot-Festpunkt führt. [8]
O (3) nichtlineares Sigma-Modell [ ] edit ]
Ein berühmtes Beispiel, das aufgrund seiner topologischen Eigenschaften von besonderem Interesse ist, ist das O (3) nichtlineare σ -Modell in 1 + 1 Dimensionen. mit der Lagrange-Dichte
wobei n̂ = ( n 1 n 2 n 3 ) mit der Einschränkung n̂ n̂ = 1 und μ = 1,2.
Dieses Modell ermöglicht topologische Lösungen mit endlicher Wirkung, da bei unendlicher Raumzeit die Lagrange-Dichte verschwinden muss, was bedeutet, dass n̂ = konstant im Unendlichen ist. Daher können in der Klasse der Lösungen mit begrenzter Wirkung die Punkte im Unendlichen Bereich als ein einziger Punkt identifiziert werden, d. H. Dass die Raumzeit mit einer Riemannschen Kugel identifiziert werden kann.
Da das n̂ -Feld auch auf einer Kugel lebt, ist das Mapping S 2 → S 2 belegt. deren Lösungen werden durch die zweite Homotopiegruppe einer 2-Sphäre klassifiziert: Diese Lösungen werden O (3) -Instantonen genannt.
Dieses Modell kann auch in 1 + 2-Dimensionen betrachtet werden, wobei die Topologie jetzt nur noch aus den räumlichen Schichten stammt. Diese werden als R ^ 2 mit einem Punkt im Unendlichen modelliert und haben daher in 1 + 1 Dimensionen dieselbe Topologie wie die O (3) -Objektonen. Sie werden als Sigma-Modellklumpen bezeichnet.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit
- 19659148] Gell-Mann, M .; Lévy, M. (1960), "Der axiale Vektorstrom im Betazerfall", Il Nuovo Cimento Italienische Physikalische Gesellschaft, 16 : 705–726, Bibcode: 1960NCim ... 16705G, doi: 10.1007 / BF02859738, ISSN 1827-6121
- ^ Gürsey, F. (1960). "Über die Symmetrien starker und schwacher Wechselwirkungen". Il Nuovo Cimento . 16 (2): 230–240. Bibcode: 1960NCim ... 16..230G. doi: 10.1007 / BF02860276.
- ^ Zinn-Justin, Jean (2002). Quantenfeldtheorie und kritische Phänomene . Oxford University Press
- Cardy, John L. (1997). Skalierung und die Renormierungsgruppe in der statistischen Physik . Cambridge University Press.
- ^ Brezin, Eduard; Zinn-Justin, Jean (1976). "Renormalisierung des nichtlinearen Sigma-Modells in 2 + epsilon-Dimensionen". Physical Review Letters . 36 : 691–693. Bibcode: 1976PhRvL..36..691B. doi: 10.1103 / PhysRevLett.36.691
- ^
D. Friedan (1980). "Nichtlineare Modelle in 2 + ε - Abmessungen". PRL . 45 (13): 1057. Bibcode: 1980PhRvL..45.1057F. doi: 10.1103 / PhysRevLett.45.1057 - ^ Witten, E. (1984). "Nicht-abelsche Bosonisierung in zwei Dimensionen". Kommunikationen in der mathematischen Physik . 92 (4): 455–472. Bibcode: 1984CMaPh..92..455W. doi: 10.1007 / BF01215276.
- ^ Braaten, E .; Curtright, T. L .; Zachos, C. K. (1985). "Torsion und Geometrostase in nichtlinearen Sigma-Modellen". Nuclear Physics B . 260 (3–4): 630. Bibcode: 1985NuPhB.260..630B. doi: 10.1016 / 0550-3213 (85) 90053-7.
Externe Links [ ]
- ] Ketov, SV Nichtlineares Sigma-Modell auf Scholarpedia. 19659166] U. Kulshreshtha, D. S. Kulshreshtha und H.J.W. Müller-Kirsten, `Gauge invariante O (N) nichtlineare Sigma-Modell (e) und Eichinvariante Klein-Gordon-Theorie: Wess-Zumino-Ausdrücke und Hamilton- und BRST-Formulierungen“, Helv.Phys.Acta 66, 752-794 (1993) ; U. Kulshreshtha und D.S. Kulshreshtha, "Frontform Hamiltonian, Pfadintegral und BRST-Formulierungen des nichtlinearen Sigma-Modells", Int.J.Theor.Phys. 41, 1941-1956 (2002), DOI: 10.1023 / A: 1021009008129.
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