Borel-Untergruppe - Wikipedia

In der Theorie der algebraischen Gruppen ist eine Borel-Untergruppe einer algebraischen Gruppe G eine maximal geschlossene und verbundene lösbare algebraische Untergruppe von Zariski. Zum Beispiel in der Gruppe GL _n ( n x n umkehrbare Matrizen), Die Untergruppe der invertierbaren oberen dreieckigen Matrizen ist eine Borel-Untergruppe.

Für Gruppen, die über algebraisch geschlossene Felder realisiert wurden, Es gibt eine einzige Konjugationsklasse von Borel-Untergruppen.

Borel-Untergruppen sind eine der zwei Schlüsselkomponenten für das Verständnis der Struktur einfacher (allgemeiner, reduktiver) algebraischer Gruppen in Jacques Tits 'Theorie der Gruppen mit einem (B, N) -Paar. Hier ist die Gruppe B eine Borel-Untergruppe und N ist der Normalisierer eines maximalen Torus, der in B enthalten ist.

Der Begriff wurde von Armand Borel eingeführt, der eine führende Rolle bei der Entwicklung der Theorie algebraischer Gruppen spielte.

Parabolic-Untergruppen [ edit ]

Untergruppen zwischen einer Borel-Untergruppe B und der Umgebungsgruppe G werden parabolic-Untergruppen genannt . Parabolische Untergruppen P sind auch unter algebraischen Untergruppen durch die Bedingung gekennzeichnet, dass G / P eine vollständige Sorte ist. In algebraisch geschlossenen Feldern erweisen sich die Borel-Subgruppen als die minimalen parabolischen Subgruppen in diesem Sinne. Somit ist B eine Borel-Untergruppe, wenn der homogene Raum G / B eine vollständige Sorte ist, die "so groß wie möglich" ist.

Für eine einfache algebraische Gruppe G ist die Menge der Konjugationsklassen von parabolischen Untergruppen mit der Menge aller Teilmengen von Knoten des entsprechenden Dynkin-Diagramms identisch; Die Borel-Untergruppe entspricht der leeren Menge und G selbst entspricht der Menge aller Knoten. (Im Allgemeinen bestimmt jeder Knoten des Dynkin-Diagramms eine einfache negative Wurzel und somit eine eindimensionale 'Wurzelgruppe' von G - eine Teilmenge der Knoten ergibt somit eine parabolische Untergruppe, die von [19459006erzeugtwird)] B und die entsprechenden negativen Wurzelgruppen. Darüber hinaus ist jede parabolische Untergruppe mit einer solchen parabolischen Untergruppe konjugiert.)

Beispiel [ edit ]

Lassen Sie ${ displaystyle B}$

und die maximalen richtigen parabolischen Untergruppen von ${ displaystyle G}$die ${ displaystyle B}$ enthalten, sind [19659082] { [ a 11 a 12 a 13 a 14 0 22 a 23 a 24 0 a 32 a 33 [19659387] 34 [19659907] 34 [19659907] 19659045] a 42 a 43 a 44 ] ] 11 a 12 a 13 a 14 21 [19659387] 22 22 [19659387] 22 [19659387] ] 23 a 24 0 0 a 33 a 34 0 0 [19659457] 0 0 a 44 ] } { [1965903] 6] a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 [19659387] 22 22 [19659387] 22 [19659387] a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 34 [19659907] 34 [19659907] 19659052] 0 0 a 44 ] } { displaystyle left {{ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13 & a_ {14} 0 & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} 0 & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} 0 & a_ {42} & a_ {43} & a_ {44} end { bmatrix}} right }, { text {}} left {{ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} 0 & 0 & a_ {33} & a_ {34} 0 & 0 & a_ {43} & a_ {44} end {Matrix}} right }, { text {}} left {{ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} 0 & 0 & 0 & a_ {44} end {bmatrix}} right }}

Außerdem ist ein maximaler Torus in $B { Displaystyle B}$ B "/>. 19659191] { [ a 11 0 0 0 0 [19659457] 22 0 0 0 [19659595] 0 [19659595] 0 0 a 33 0 [1965952] 0 0 0 a 44 ] 19659017] 11 [1945 a 22 [1945 a 33 65 [196592157] [196592157] ] 90 0 } { displaystyle left {{ begin {bmatrix} a_ {11} & 0 & 0 & 0 0 & a {22} & 0 & 0 0 & 0 & a & rt; {33} & 0 & a & rt; {44 } end {bmatri x}}: a_ {11} cdot a_ {22} cdot a_ {33} cdot a_ {44} neq 0 right }}

Dies ist isomorph zum algebraischen Torus ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$