In der linearen Algebra ist das charakteristische Polynom einer quadratischen Matrix ein Polynom, das unter Matrixähnlichkeit invariant ist und die Eigenwerte als Wurzeln besitzt. Sie hat die Determinante und die Spur der Matrix als Koeffizienten. Das charakteristische Polynom eines Endomorphismus von Vektorräumen endlicher Dimension ist das charakteristische Polynom der Matrix des Endomorphismus über einer beliebigen Basis; es hängt nicht von der Wahl einer Basis ab. Die charakteristische Gleichung ist die Gleichung, die durch Gleichsetzen des charakteristischen Polynoms zu Null erhalten wird.
Das charakteristische Polynom eines Diagramms ist das charakteristische Polynom seiner Adjazenzmatrix. Es ist eine invariante Grafik, obwohl sie nicht vollständig ist: Das kleinste Paar nicht-isomorpher Graphen mit demselben charakteristischen Polynom hat fünf Knoten. [1]
Motivation [
Quadratmatrix A wollen wir ein Polynom finden, dessen Nullen die Eigenwerte von A sind. Für eine Diagonalmatrix A ist das charakteristische Polynom leicht zu definieren: Wenn die diagonalen Einträge a 1 a 2 2 sind, a 3 usw. dann wird das charakteristische Polynom sein:
Dies funktioniert wegen der Diagonale Einträge sind auch die Eigenwerte dieser Matrix.
Für eine allgemeine Matrix A kann man wie folgt vorgehen. Ein Skalar λ ist ein Eigenwert von A wenn und nur dann, wenn ein Eigenvektor v ≠ 0 vorhanden ist
oder
Formale Definition [ edit ]
Wir betrachten eine n × n Matrix A A . Das charakteristische Polynom von A bezeichnet mit p A ( t ), ist das durch [2]
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