In der Mathematik wird eine gerade Zahl, dh eine durch 2 teilbare Zahl, gleich oder doppelt genannt, wenn es sich um ein Vielfaches von 4 handelt, und seltsam sogar oder einzeln sogar wenn dies nicht der Fall ist. (Die ersten Namen sind traditionell und stammen aus dem Altgriechischen; die letzteren sind in den letzten Jahrzehnten üblich geworden.)
Diese Namen spiegeln ein grundlegendes Konzept der Zahlentheorie wider, die 2-Ordnung einer Ganzzahl: Wie oft die Ganzzahl durch 2 geteilt werden kann. Dies entspricht der Multiplizität von 2 in der Primfaktorisierung .
Eine gerade Zahl kann nur einmal durch 2 geteilt werden. es ist gerade, aber der Quotient von 2 ist ungerade.
Eine doppelt gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die mehr als einmal durch 2 teilbar ist. es ist gerade und sein Quotient um 2 ist auch gerade.
Die getrennte Betrachtung von ungeradzahligen und gleichmäßig geraden Zahlen ist in vielen Teilen der Mathematik nützlich, insbesondere in der Zahlentheorie, der Kombinatorik, der Kodierungstheorie (siehe gerade Codes) und anderen.
Definitionen [ edit ]
Die alten griechischen Ausdrücke "Even-times-even" und "Even-times-odd-ungerade" wurden von Euclid und späteren Autoren, wie z Nicomachus. [1] Heute gibt es eine Standardentwicklung der Konzepte. Die Ordnung 2 oder 2 ist nur ein Sonderfall der Ordnung p bei einer allgemeinen Primzahl p ; p -adische Zahl, um mehr über diesen weiten Bereich der Mathematik zu erfahren. Viele der folgenden Definitionen verallgemeinern direkt auf andere Primzahlen.
Für eine ganze Zahl n ist die 2-Ordnung von n (auch als Bewertung bezeichnet) die größte natürliche Zahl v, so dass 2 ν teilt n . Diese Definition gilt für positive und negative Zahlen n obwohl einige Autoren sie auf positive beschränken n ; und man kann die 2-Ordnung von 0 als unendlich definieren (siehe auch Parität von Null). [2] Die 2-Ordnung von n wird ν 2 geschrieben. n ) oder ord 2 ( n ). Es ist nicht mit der multiplikativen Ordnung modulo 2 zu verwechseln.
Die 2-Ordnung liefert eine einheitliche Beschreibung verschiedener durch Gleichheit definierter Ganzzahlklassen:
- Ungerade Zahlen sind solche mit ν 2 ( n ) = 0, dh ganze Zahlen der Form 2 m + 1
- Gerade Zahlen sind solche mit ν 2 ( n )> 0, dh ganze Zahlen der Form 2 m . Im Speziellen:
- Einfach gerade Zahlen sind solche mit ν 2 ( n ) = 1, dh ganze Zahlen der Form 4 m + 2 [19459008
- Doppelt gerade Zahlen sind diejenigen mit ν 2 ( n )> 1, dh ganze Zahlen der Form 4 m .
- In dieser Terminologie kann eine doppelt gerade Zahl durch 8 teilbar sein oder nicht, daher gibt es keine spezielle Terminologie für "dreifach gerade" Zahlen.
Man kann die 2-Ordnung auch durch Definition auf die rationalen Zahlen erweitern 2 ( q ), um die eindeutige ganze Zahl ν zu sein
und a und b sind beide ungerade. Zum Beispiel haben halbe ganze Zahlen eine negative 2-Ordnung, nämlich -1. Schließlich durch die Definition der 2-adischen Norm
ist man auf dem besten Weg, die 2-adischen Zahlen von zu konstruieren.
Anwendungen [ edit ]
Sichere Outs in Darts [ edit ]
Das Ziel des Dartspiels besteht darin, eine Punktzahl zu erreichen von 0 ist der Spieler mit der kleineren Punktzahl in einer besseren Position, um zu gewinnen. Zu Beginn eines Beins hat "kleiner" die übliche Bedeutung des absoluten Werts, und die grundlegende Strategie besteht darin, auf hochwertige Bereiche auf dem Dartboard zu zielen und so viele Punkte wie möglich zu erzielen. Am Ende eines Beines wird die 2-adische Norm zum relevanten Maß, da man sich verdoppeln muss, um zu gewinnen. Bei einer ungeraden Punktzahl, egal wie klein der absolute Wert ist, werden mindestens zwei Darts benötigt, um zu gewinnen. Jede Punktzahl zwischen 2 und 40 kann mit einem einzigen Pfeil zufrieden gestellt werden, und 40 ist aufgrund der fehlenden Auswirkungen eine viel wünschenswertere Punktzahl als 2.
Ein häufiger Fehlschlag, wenn Sie auf den Doppelring zielen, ist, stattdessen einen einzelnen Treffer zu treffen und versehentlich die Punktzahl zu halbieren. Bei einer Punktzahl von 22 - einer einfach geraden Zahl - hat man einen Spielschuß für Doppel 11. Wenn einer die Single 11 erreicht, ist die neue Punktzahl 11, was ungerade ist, und es werden mindestens zwei weitere Pfeile benötigt, um sich zu erholen. Im Gegensatz dazu kann man beim Schießen auf Doppel 12 den gleichen Fehler machen, aber immer noch 3 Spielschüsse hintereinander haben: D12, D6 und D3. Im Allgemeinen hat man mit einer Punktzahl von n <42 ν 2 ( n ) solche Spielaufnahmen. Deshalb ist 32 = 2 5 eine solch wünschenswerte Punktzahl: Sie teilt sich fünfmal. [3][4]
Irrationalität von √ 2 edit ]
Der klassische Beweis, dass die Quadratwurzel von 2 irrational ist, wirkt unendlicher Abstammung. Normalerweise wird der absteigende Teil des Beweises abstrahiert, indem angenommen wird (oder nachgewiesen wird), dass es sich um irreduzible Repräsentationen rationaler Zahlen handelt. Ein alternativer Ansatz besteht darin, die Existenz des Operators ν 2 auszunutzen.
Nehmen Sie das im Widerspruch an
wobei a und b natürliche Zahlen sind, die nicht Null sind. Beidseitig der Gleichheit ein Quadrat machen und anwenden
der Operator für die Bewertung zweiter Ordnung ν 2 bis 2 b 2 = a 2 :
Da 2-stufige Bewertungen Ganzzahlen sind, kann der Unterschied nicht rational sein . Im Gegensatz dazu ist √ 2 kein rationales.
Konkreter: Da die Bewertung von 2 b 2 ungerade ist, während die Bewertung von a 2 gerade ist, müssen sie unterschiedliche Ganzzahlen sein . Eine einfache Berechnung ergibt dann eine untere Grenze von für den Unterschied ein direkter Beweis für Irrationalität, die sich nicht auf die Gesetz der ausgeschlossenen Mitte. [5]
Geometrische Topologie [ edit ]
In der geometrischen Topologie hängen viele Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten nur von ihrer Dimension mod 4 oder mod 8 ab; so studiert man oft Mannigfaltigkeiten von einer einzigen ebenen und einer doppelt ebenen Dimension (4 k +2 und 4 k ) als Klassen. Beispielsweise haben doppelt gleich dimensionierte Mannigfaltigkeiten eine symmetrische nichtdegenerierte bilineare Form in ihrer Kohomologiegruppe der mittleren Dimension, die somit eine ganzzahlige Signatur aufweist. Umgekehrt haben einfach gleichdimensionale Mannigfaltigkeiten in ihrer mittleren Dimension eine -symmetrische nichtdegenerierte bilineare Form (19459015); Wenn man eine quadratische Verfeinerung davon zu einer quadratischen Form definiert (wie bei einer gerahmten Mannigfaltigkeit), erhält man die Arf-Invariante als eine mod2-Invariante. Im Gegensatz dazu haben ungeradzahlige dimensionale Mannigfaltigkeiten diese Invarianten nicht, obwohl in der Theorie der algebraischen Chirurgie kompliziertere Invarianten definiert werden können. Diese 4-fache und 8-fache Periodizität in der Struktur der Mannigfaltigkeiten hängt mit der 4-fachen Periodizität der L-Theorie und der 8-fachen Periodizität der echten topologischen K-Theorie zusammen, die als Bottom-Periodizität bekannt ist K-Theorie ist 4-fach periodisch von 2 entfernt.
Wenn ein kompakt orientierter glatter Spin-Verteiler die Dimension hat n 4 mod 8 oder ν 2 ( n ) = 2 genau, dann ist seine Signatur ein ganzzahliges Vielfaches von 16. [6]
Andere Erscheinungen [ edit ]
Eine einfach gerade Zahl kann keine starke Zahl sein. Es kann nicht als Differenz zweier Quadrate dargestellt werden. Eine einfach gerade Zahl kann jedoch als Differenz zweier pronischer Zahlen oder zweier starker Zahlen dargestellt werden. [7]
In der Gruppentheorie ist es relativ einfach, [8] diese Reihenfolge zu zeigen einer nonabelschen endlichen einfachen Gruppe kann keine gerade Zahl sein. Nach dem Satz von Feit-Thompson kann er auch nicht ungerade sein, daher hat jede dieser Gruppen eine doppelt gerade Reihenfolge.
Lamberts fortgesetzte Fraktion für die Tangensfunktion ergibt die folgende fortgesetzte Fraktion, die die positiven, geraden Zahlen einschließt: [9]
Dieser Ausdruck führt zu ähnlichen Darstellungen von e . [10]
In der organischen Chemie sagt die Hückel-Regel, die auch als 4n + 2-Regel bekannt ist, voraus an einem cyclischen π-Bindungssystem, das eine einfach gerade Anzahl von p-Elektronen enthält, wird es aromatisch sein. [11]
Verwandte Klassifikationen edit
Obwohl die 2-te Ordnung feststellen kann, wann eine ganze Zahl ist kongruent zu 0 (mod 4) oder 2 (mod 4), kann der Unterschied zwischen 1 (mod 4) und 3 (mod 4) nicht erkannt werden. Diese Unterscheidung hat einige interessante Konsequenzen, z. B. das Fermat-Theorem für Summen zweier Quadrate.
Siehe auch [ edit ]
Referenzen [ edit
- ^ Euclid; Johan Ludvig Heiberg (1908). Die dreizehn Bücher von Euklids Elementen . Die Universitätspresse. S. 281–284.
- ^ Lengyel, Tamas (1994). "Charakterisierung der 2-adischen Ordnung des Logarithmus" (PDF) . Die Fibonacci vierteljährlich . 32 : 397–401.
- ^ Nunes, Terezinha und Peter Bryant (1996). Kinder, die Mathematik machen . Blackwell. S. 98–99. ISBN 0-631-18472-4.
- ^ Everson, Fred (2006). Anleitung eines Bar-Spielers zum Gewinnen von Darts . Trafford. p. 39. ISBN 1-55369-321-3.
- ^ Benson, Donald C. (2000). Moment des Beweises: Mathematische Epiphanien . Oxford UP. S. 46–47. ISBN 0-19-513919-4.
- ^ Ochanine, Serge, "Signature modulo 16, Invarianten von Kervaire généralisés und nombres caractéristiques dans la K-théorie réelle", Mém. Soc. Mathematik. Frankreich 1980/81, Nr. 5, 142 pp. MR 1809832
- ^ * McDaniel, Wayne L. (1982). Msgstr "Repräsentationen jeder ganzen Zahl als Differenz von starken Zahlen". Fibonacci vierteljährlich . 20 : 85–87,
- ^ Siehe zum Beispiel: Bourbaki (1989). Elemente der Mathematik: Algebra I: Kapitel 1-3 (Softcover-Nachdruck von 1974, englische Übersetzung, Hrsg.). Springer S. 154–155. ISBN 3-540-64243-9.
- ^ Hairer, Ernst und Gerhard Wanner (1996). Analyse nach ihrer Geschichte . Springer S. 69–78. ISBN 0-387-94551-2.
- ^ Lang, Serge (1995). Einführung in diophantine Approximationen . Springer S. 69–73. ISBN 0-387-94456-7.
- ^ Ouellette, Robert J. und J. David Rawn (1996). Organische Chemie . Prentice Hall. p. 473. ISBN 0-02-390171-3.
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