sora aoi9a: Kan-Erweiterung

Kan-Erweiterungen sind universelle Konstrukte in der Kategorientheorie, einem Zweig der Mathematik. Sie stehen in enger Beziehung zu Adjutanten, aber auch zu Grenzen und Zielen. Sie sind nach Daniel M. Kan benannt, der 1960 bestimmte (Kan) -Erweiterungen mit Grenzwerten konstruierte.

Eine frühe Verwendung einer Kan-Erweiterung aus dem Jahr 1956 fand in der homologischen Algebra statt, um abgeleitete Funktoren zu berechnen.

In Kategorien für den Arbeitsmathematiker Saunders Mac Lane trug den Titel "All Concepts Are Kan Extensions" (All Concepts Are Kan Extensions) und schrieb dann weiter

Der Begriff der Kan-Erweiterungen fasst alle anderen grundlegenden Konzepte der Kategorientheorie zusammen.

Die Kan-Erweiterungen verallgemeinern die Vorstellung, eine in einer Teilmenge definierte Funktion auf eine in der gesamten Menge definierte Funktion zu erweitern. Die Definition ist nicht überraschend auf einem hohen Abstraktionsniveau. Wenn sie sich auf Posets spezialisiert, wird sie zu einer relativ vertrauten Art von Fragen zur eingeschränkten Optimierung.

Definition [ edit ]

Eine Kan-Erweiterung geht von den Daten von drei Kategorien aus

{displaystyle mathbf {A} ,mathbf {B} ,mathbf {C} }

und zwei Funktoren

{1945style X colon mathbf {A} bis mathbf {C }, F colon mathbf {A} an mathbf {B}}

und kommt in zwei Varianten: Die "linke" Kan-Erweiterung und die "rechte" Kan-Erweiterung von ${ displaystyle X} [19659034] X "/>$

Es bedeutet, dass der gestrichelte Pfeil und der 2-Zellen ${ displaystyle eta}$ im folgenden Diagramm zu finden sind:

Rechte Kan-Erweiterung "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Right_Kan_Extension.png "decoding =" async "width =" 175 "height = "106" data-file-width = "175" data-file-height = "106

(Die natürliche Transformation ${ displaystyle eta} [19659043] eta "/>$

Formell die rechte Kan-Erweiterung von ${ displaystyle X}$ entlang ${ displaystyle F}$ und eine natürliche Transformation ${Displaystyle Eta Colon RF bis X}$ und natürliche Transformation ${ displaystyle mu colon MF bis X}$ , eine einzigartige natürliche Umwandlung ${ displaystyle delta colon M bis R} [19659121] delta colon M bis R "/>$

(wobei ${ displaystyle delta _ {F} }$ ist die natürliche Umwandlung mit ${ displaystyle delta _ {F} (a) = delta (Fa) Doppelpunkt MF (a) bis RF ( a)}$ für jedes Objekt ${ displaystyle a }$ von ${ displaystyle mathbf {A}}$ ).

Der Funktionscode R wird häufig $X { Displaystyle Benutzername geschrieben {Ran} _ {F} X}$ .

Wie bei den anderen Universalkonstrukten in der Kategorietheorie ist die "linke" Version der Kan-Erweiterung dual zu "rechts" und wird erhalten, indem alle Kategorien durch ihre Gegensätze ersetzt werden. Dies wirkt sich auf die obige Beschreibung nur aus, um die Richtung der natürlichen Transformationen umzukehren (erinnern Sie sich daran, dass eine natürliche Transformation ${ displaystyle T}$ T zwischen den Trichter ${1945style F, G Colon mathbf {C} zu mathbf {D}}$ besteht aus den Daten eines Pfeils ${ Displaystyle T (a) Colon F (a) bis G (a)}$ für jeden object ${ displaystyle a}$ von ${ displaystyle mathbf {C}}$ ]eine "Natürlichkeit" -Eigenschaft. Wenn wir zum Gegner übergehen Quelle, Ziel und Ziel von ${ displaystyle T (a)}$ werden vertauscht, wodurch [19659173] T { displaystyle T} $T$ um in die entgegengesetzte Richtung zu wirken).

Daraus ergibt sich die alternative Beschreibung: Die [19456500] linke Kan-Erweiterung von ${ displaystyle X}$ entlang ${ displaystyle F }$ besteht aus einem Funktor $(19659394) L colon mathbf {B} bis mathbf {C}}$ und eine natürliche Umwandlung ${[displaystyleepsiloncolonXbisLF}$ die in Bezug auf diese Spezifikation universell sind, in dem Sinne, dass für jeden anderen Funktor ${ displaystyle M colon mathbf {B} bis mathbf {C}}$ und natürlich t Transformation ${[DisplaystyleAlphaColonXbisMF}[19659264] alpha colon X bis MF "/>$

Kan-Erweiterung Universal Property diagram.png "src =" http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Kan_extension_universal_property_diagram.png "decoding =" async "width =" 201 "height =" 92 "data-file-width =" 201 "data-file-height =" 92

(wobei

{ displaystyle sigma _ { F}}

ist die natürliche Umwandlung mit

{ displaystyle sigma _ {F} (a) = sigma (Fa) colon LF (a.) ) bis MF (a)}

für ein beliebiges Objekt

] { displaystyle a}

von

{ displaystyle mathbf {A}}

Der Functor L wird häufig $X geschrieben Operatorname {Lan} _ {F} X}$ .

Die Verwendung des Wortes "the" (wie in "der linken Kan-Erweiterung") wird durch die Tatsache gerechtfertigt, dass es wie bei allen universellen Konstruktionen, wenn das definierte Objekt existiert, bis zu einem eindeutigen Isomorphismus einzigartig ist. In diesem Fall bedeutet dies, dass (für linke Kan-Erweiterungen) wenn ${ displaystyle L, M}$ zwei linke Kan-Erweiterungen sind ${ displaystyle X}$ entlang ${ displaystyle F}$ und ${ displaystyle epsilon, alpha}$ sind die entsprechenden Transformationen, dann existiert ein einzigartiger Isomorphismus of functors ${ displaystyle sigma colon L bis M}$ so dass das zweite Diagramm oben pendelt. Ebenso für rechte Kan-Erweiterungen.

Eigenschaften [ edit ]

Kan-Erweiterungen als (Co) -grenzen [ edit

X A → C { displaystyle X: mathbf {A} zu mathbf {C}} $X: { mathbf {A }} an { mathbf {C}}$ und ${displaystyle F:mathbf {A} to mathbf {B} }$ sind zwei Funktoren. Wenn A klein ist und C Cocomplete ist, dann gibt es eine linke Kan-Erweiterung ${displaystyle mathrm {Lan} _{F}X}$ von ${ Displaystyle X}$ entlang ${ displaystyle F}$ definiert an jedem Objekt b von B von