Kommutatives Diagramm - Wikipedia

Das Kommutativdiagramm, das im Beweis des fünf Lemmas verwendet wird.

In der Mathematik und insbesondere in der Kategorietheorie ist ein Kommutativdiagramm ein Diagramm, bei dem alle gerichteten Pfade im Diagramm gleich sind Start- und Endpunkte führen zum gleichen Ergebnis. Kommutative Diagramme spielen in der Kategorietheorie eine Rolle, die Gleichungen in der Algebra spielen (siehe Barr-Wells, Abschnitt 1.7).

Beschreibung [ edit ]

Teile des Diagramms:

Pfeilsymbole [ edit ]

In Algebra-Texten kann die Art des Morphismus mit verschiedenen Pfeilverwendungen angegeben werden:

Diese Konventionen sind so weit verbreitet, dass Texte die Bedeutung der verschiedenen Pfeilarten oft nicht erklären.

Überprüfung der Kommutativität [ edit ]

Kommutativität ist für ein Polygon beliebig vielen Seiten (einschließlich nur 1 oder 2) sinnvoll. Ein Diagramm ist kommutativ, wenn jedes polygonale Unterdiagramm dies ist kommutativ.

Man beachte, dass ein Diagramm nicht kommutativ sein kann, d. H. Die Zusammensetzung verschiedener Pfade im Diagramm kann nicht dasselbe Ergebnis ergeben.

Phrasen [ edit ]

Es können Phrasen wie "dieses Kommutativdiagramm" oder "Das Diagramm pendelt" verwendet werden.

Beispiele [ edit ]

Im linken unteren Diagramm, das den ersten Isomorphismussatz ausdrückt, bedeutet Kommutativität, dass ${ displaystyle f = { tilde {f}} circ pi}$ Im rechten unteren Diagramm bedeutet Kommutativität des Quadrats ${ displaystyle h circ f = k circ g}$:

Damit das Diagramm unten pendelt, müssen wir die drei Gleichungen haben: (1) $r circ h circ g = H circ G circ l}}$ (2) [19659057] m ∘ g = G 19 L [Displaystyle]; 19659066] { displaystyle ; m circ g = G circl}, "/> und (3) ${ displaystyle ; r circ h = H circ m}$.
Da sich die erste Gleichheit aus den letzten beiden ergibt, genügt es für das Diagramm, um zu pendeln (2) und (3). Da sich Gleichheit (3) jedoch im Allgemeinen nicht aus den beiden anderen Gleichungen ergibt, reicht es für dieses Diagramm nicht aus, nur die Gleichungen (1) und (2) zu verwenden.

Diagrammjagd [ edit ]

Diagrammjagd (auch als diagrammatic search bezeichnet ) ist eine mathematische Methode, die insbesondere in der homologischen Algebra verwendet wird. Bei einem kommutativen Diagramm beinhaltet ein Proof durch Diagrammjagd die formale Verwendung der Eigenschaften des Diagramms, beispielsweise injektiver oder surjektiver Karten oder exakter Sequenzen. Es wird ein Syllogismus konstruiert, für den die grafische Darstellung des Diagramms nur eine visuelle Hilfe ist. Daraus folgt, dass man Elemente um das Diagramm herum jagt, bis das gewünschte Element oder Ergebnis erstellt oder verifiziert ist.

Beispiele für Beweise durch Diagrammjagd schließen diejenigen ein, die typischerweise für das fünf Lemma, das Schlangen-Lemma, das Zick-Zack-Lemma und das Neun-Lemma gegeben werden.

In der Theorie der höheren Kategorien [ edit ]

In der Theorie der höheren Kategorien werden nicht nur Objekte und Pfeile, sondern auch Pfeile zwischen den Pfeilen, Pfeile zwischen Pfeilen zwischen Pfeilen usw. betrachtet Ad infinitum. Zum Beispiel ist die Kategorie der kleinen Kategorien Cat natürlich eine 2-Kategorie, mit Funktoren als Pfeilen und natürlichen Transformationen als Pfeilen zwischen Funktoren. In dieser Einstellung können kommutative Diagramme auch diese höheren Pfeile enthalten, die oft im folgenden Stil dargestellt werden: ${ displaystyle Rightarrow}$. Das folgende (etwas triviale) Diagramm zeigt zum Beispiel zwei Kategorien C und D zusammen mit zwei Funktoren F G : [19659090] C → D und eine natürliche Umwandlung α : F ⇒ G :

Es gibt zwei Arten von Kompositionen in einer 2-Kategorie (19459008) vertikale Komposition und horizontale Komposition ]), und sie können auch durch Einfügen von Diagrammen dargestellt werden. Beispiele finden Sie unter 2-category # Definition.

Diagramme als Funktionselemente [ edit ]

Ein Kommutativdiagramm in einer Kategorie C kann als Funktionselement aus einer Indexkategorie J interpretiert werden ] bis C; nennt man den Funktor ein Diagramm .

Formal ist ein kommutatives Diagramm eine Visualisierung eines Diagramms, das durch eine Poset-Kategorie indiziert ist:

• man zieht einen Knoten für jedes Objekt in der Indexkategorie,


• einen Pfeil für einen generierenden Satz von Morphismen.
  

  Weglassen von Identitätskarten und Morphismen, die als Zusammensetzungen ausgedrückt werden können,



• und die Kommutativität des Diagramms (die Gleichheit der unterschiedlichen Zusammensetzungen von Karten zwischen zwei Objekten) entspricht der Eindeutigkeit einer Karte dazwischen zwei Objekte in einer Poset-Kategorie.

Umgekehrt definiert sie bei einem kommutativen Diagramm eine Poset-Kategorie:

• Die Objekte sind die Knoten,


• Es gibt nur dann einen Morphismus zwischen zwei beliebigen Objekten, wenn zwischen den Knoten ein (gerichteter) Pfad vorhanden ist,


• mit der Beziehung, die dieser Morphismus eindeutig ist (eine beliebige Zusammensetzung von Maps wird durch Domäne und Ziel definiert: Dies ist das Kommutativitäts-Axiom.

Allerdings pendelt nicht jedes Diagramm (der Begriff des Diagramms verallgemeinert das Kommutativdiagramm): am einfachsten das Diagramm eines einzelnen Objekts mit einem Endomorphismus ([19659113] f : X → X { displaystyle f colon X bis X} ${ displaystyle bullet rightrightarrows bullet}$ Das heißt, ${19659036] bis Y}$manchmal als freier Köcher bezeichnet, wie er in der Definition des Equalizers verwendet wird, muss nicht pendeln. Ferner können Diagramme unordentlich oder unmöglich zu zeichnen sein, wenn die Anzahl der Objekte oder Morphismen groß (oder sogar unendlich) ist.

Siehe auch [ edit ]

Referenzen ]

Externe Links

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