In der Differentialgeometrie kann der nach Pierre-Simon Laplace benannte Laplace-Operator generalisiert werden, um Funktionen auszuführen, die auf Oberflächen im euklidischen Raum und allgemein auf Riemannschen und Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten definiert sind. Dieser allgemeinere Operator trägt den Namen Laplace-Beltrami-Operator nach Laplace und Eugenio Beltrami. Wie beim Laplace-Operator wird der Laplace-Beltrami-Operator als Divergenz des Gradienten definiert und ist ein linearer Operator, der Funktionen in Funktionen einfügt. Der Operator kann erweitert werden, um mit Tensoren als Divergenz der kovarianten Ableitung zu arbeiten. Alternativ kann der Bediener generalisiert werden, um unter Verwendung der Divergenz und der äußeren Ableitung Differentialformen zu bearbeiten. Der resultierende Operator heißt Laplace-de Rham-Operator (benannt nach Georges de Rham).
Details [ edit ]
Der Laplace-Beltrami-Operator ist wie der Laplace-Operator die Divergenz des Gradienten:
Eine explizite Formel in lokalen Koordinaten ist möglich.
Nehmen wir zunächst an, dass M eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit ist. Die Orientierung erlaubt es, eine bestimmte Volumenform auf M anzugeben, angegeben in einem orientierten Koordinatensystem x i von
wobei dx i die 1-Formen sind, die die Basis für die Basisvektoren bilden
und ist das Keilprodukt von . Hier | g | : = | det ( g ij ) ist der absolute Wert der Determinante des metrischen Tensors g ij .
Die Divergenz eines Vektorfeldes X auf der Mannigfaltigkeit wird dann als Skalarfunktion mit der Eigenschaft definiert
wobei L X die Lie-Ableitung entlang des Vektorfelds ist X . In lokalen Koordinaten erhält man
wo die Einsteinnotation impliziert ist, so dass der wiederholte Index i wird summiert.
Der Gradient einer Skalarfunktion ƒ ist der Vektorfeldgrad f der durch das innere Produkt definiert werden kann auf der Mannigfaltigkeit, as
für alle Vektoren v x verankert am Punkt x im Tangentialraum T x M der Mannigfaltigkeit am Punkt x . Hier ist d ƒ die äußere Ableitung der Funktion ƒ; es ist eine 1-Form, die Argumente v x nimmt. In lokalen Koordinaten hat man
wobei g ij die Komponenten der Inversen des metrischen Tensors sind, so dass g ij g jk = δ i k mit δ i k das Kronecker-delta.
Durch die Kombination der Definitionen von Gradient und Divergenz lautet die Formel für den Laplace-Beltrami-Operator, die auf eine Skalarfunktion f angewendet wird, in lokalen Koordinaten
Wenn M nicht orientiert ist, führt die obige Berechnung genau so aus, als dargestellt dass die Volumenform stattdessen durch ein Volumenelement ersetzt werden muss (eine Dichte statt einer Form). Weder der Gradient noch die Divergenz hängen tatsächlich von der Wahl der Orientierung ab, sodass der Laplace-Beltrami-Operator selbst nicht von dieser zusätzlichen Struktur abhängt.
Formale Selbstadjunktheit [ edit ]
Die äußere Ableitung d und -∇. sind formale Adjutanten in dem Sinne, dass für ƒ eine kompakt unterstützte Funktion ist
wobei die letzte Gleichheit eine Anwendung von Stokes 'Theorem ist. Dualisieren gibt
( 2 )
für alle kompakt unterstützten Funktionen ƒ und h . Umgekehrt ((19459096) 2 ) wird der Laplace-Beltrami-Operator vollständig in dem Sinne charakterisiert, dass er der einzige Operator mit dieser Eigenschaft ist.
Folglich ist der Laplace-Beltrami-Operator negativ und formal selbstadjudierend, was bedeutet, dass für kompakt unterstützte Funktionen ƒ und h ,
Weil der Laplace-Beltrami Operator, wie auf diese Weise definiert, ist eher negativ als positiv, oft wird er mit dem entgegengesetzten Vorzeichen definiert.
Eigenwerte des Laplace-Beltrami-Operators (Satz von Lichnerowicz-Obata) [ edit ]
Es sei M eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit ohne Grenze. Wir wollen die Eigenwertgleichung betrachten,
ist die -Eigenfunktion, die mit dem Eigenwert verbunden ist . Es kann gezeigt werden, dass die Eigenwerte, wie oben gezeigt, die Eigenwerte real sind. Die Kompaktheit des Verteilers M lässt erkennen, dass die Eigenwerte diskret sind, und außerdem der Vektorraum der Eigenfunktionen, die einem bestimmten Eigenwert zugeordnet sind dh die -Eigenräume sind alle endlichdimensional. Wenn man die konstante Funktion als Eigenfunktion nimmt, erhalten wir ist an Eigenwert. Auch da wir erwogen haben, eine Integration von Teile zeigen, dass . Genauer gesagt, wenn wir den Eigenwert Eqn multiplizieren. durch durch die Eigenfunktion und integrieren Sie die resultierende Gleichung. am erhalten wir (unter Verwendung der Notation )
- V
V V V ∫ M u 2 d V {[displaystyle-int_{M}nabla^{2}uudV=lambdaint_{M}u^{2}dV}
V 
Durchführen einer Integration durch Teile oder was dasselbe ist wie die Verwendung des Divergenzsatzes für den linken Begriff, und seit hat keine Grenze, die wir bekommen
Wenn wir die letzten beiden Gleichungen zusammenstellen, kommen wir an
Wir schließen aus der letzten Gleichung, dass .
Ein grundlegendes Ergebnis von Andre Lichnerowicz [1] besagt Folgendes: In Anbetracht eines kompakten n -dimensionalen riemannschen Mannigfaltigkeitsbereichs ohne Grenze zu . Nehmen wir an, die Ricci-Krümmung erfüllt die untere Schranke:
wobei ist der metrische Tensor und ist ein beliebiger Tangentenvektor auf der Mannigfaltigkeit Dann der erste positive Eigenwert der Eigenwertgleichung erfüllt die untere Grenze:
Diese Untergrenze ist scharf und wird auf der Kugel erreicht . Tatsächlich am ist dreidimensional und wird durch die Einschränkung der Koordinatenfunktionen aus bis . Unter Verwendung sphärischer Koordinaten am
![{ mathbb {S}} ^ {2} [1965952]] der Eigenraum für <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/518268b00344a37811c08a236412bffaa68f75d4)
![] x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4102ba3aa87d8bd353467896b23eae57f4fb06)
Die Formel für das sphärische Laplacian zeigt leicht darunter
Damit wird die untere Grenze in Lichnerowicz 'Theorem zumindest in zwei Dimensionen erreicht.
Umgekehrt wurde von Morio Obata [2] bewiesen, dass wenn die -dimensionale kompakte Riemann'sche Mannigfaltigkeit ohne Grenze so war, dass für den ersten positiven Eigenwert hat man
- die Kugel des Radius . Beweise für all diese Aussagen finden sich in dem Buch von Isaac Chavel. [3] Analoge scharfe Grenzen gelten auch für andere Geometrien und für bestimmte degenerierte Laplacians, die diesen Geometrien zugeordnet sind, wie der Kohn Laplacian (nach Joseph J. Kohn) in einer kompakten CR vielfältig. Es gibt Anwendungen für die globale Einbettung solcher CR-Mannigfaltigkeiten in [4]
Tensor Laplacian [ edit ]
Der Laplace-Beltrami-Operator kann unter Verwendung der Spur des iterierten Kovarianten-Derivats der Levi-Civita-Verbindung geschrieben werden. Aus dieser Perspektive sei X i eine Basis von Tangentenvektorfeldern (die nicht notwendigerweise durch ein Koordinatensystem induziert werden). Dann ist der Hessische einer Funktion f der symmetrische 2-Tensor, dessen Komponenten durch gegeben sind
Dies lässt sich leicht tensoriell transformieren, da es in jedem der Argumente linear ist X i [ X ] j . Der Laplace-Beltrami-Operator ist dann die Spur des Hessischen in Bezug auf die Metrik:
In Bei abstrakten Indizes wird der Operator häufig geschrieben
vorausgesetzt, es wird implizit verstanden, dass diese Spur tatsächlich die Spur des hessischen Tensors ist.
Da sich das kovariante Derivat kanonisch auf beliebige Tensoren erstreckt, wurde der Laplace-Beltrami-Operator auf einem Tensor definiert T von
ist klar definiert.
Laplace-de Rham-Operator [ edit ]
Allgemeiner kann man einen Laplacian-Differentialoperator auf Abschnitten des Bündels von Differentialformen auf einem Pseudo-Riemannian-Verteiler definieren. Auf einem Riemannschen Mannigfaltiger ist es ein elliptischer Operator, während auf einem Lorentzianischen Mannigfaltiger hyperbolisch ist. Der Laplace-de-Rham-Operator wird durch definiert
wobei d die äußere Ableitung oder das Differential ist und δ der codifferential ist, der als (- 1) kn + n +1 ∗ d ∗ auf k -Formen, wobei ∗ der Hodge-Stern ist.
Bei der Berechnung des Laplace-Beltrami-Operators für eine Skalarfunktion f haben wir δf = 0 so dass
Bis zu einem Gesamtzeichen steht der Laplace-de-Rham-Operator äquivalent zur vorherigen Definition des Laplace-Beltrami-Operators, wenn eine Skalarfunktion verwendet wird; Für Details siehe den Beweis . Bei Funktionen ist der Laplace-de-Rham-Operator das Negativ des Laplace-Beltrami-Operators, da die herkömmliche Normalisierung des Codifferentials gewährleistet, dass der Laplace-de-Rham-Operator (formal) positiv bestimmt ist, wohingegen der Laplace-Beltrami-Operator typischerweise ist Negativ. Das Zeichen ist nur eine Konvention, und beide sind in der Literatur üblich. Der Laplace-de-Rham-Operator unterscheidet sich deutlicher von dem Tensor, den Laplacian nur für schewsymmetrische Tensoren hat. Abgesehen von dem Nebenzeichen unterscheiden sich die beiden Operatoren durch eine Weitzenböck-Identität, die explizit den Ricci-Krümmungstensor beinhaltet.
Beispiele [ edit ]
Viele Beispiele für den Laplace-Beltrami-Operator können explizit herausgearbeitet werden.
- Euklidischer Raum
In den üblichen (orthonormalen) kartesischen Koordinaten x i im euklidischen Raum wird die Metrik auf das Kronecker-Delta reduziert, und man hat daher . In diesem Fall also
was der gewöhnliche Laplace-Spieler ist. In krummlinigen Koordinaten, wie sphärischen oder zylindrischen Koordinaten, erhält man alternative Ausdrücke.
In ähnlicher Weise ist der Laplace-Beltrami-Operator, der der Minkowski-Metrik mit Signatur (- + + +) entspricht, der d'Alembertian.
- Sphärischer Laplace-Spieler
Der sphärische Laplace-Operator ist der Laplace-Beltrami-Operator auf der ( n - 1) -Sphäre mit seiner kanonischen Metrik der konstanten Querschnittskrümmung 1. Sie ist Es ist praktisch, die Kugel als isometrisch eingebettet in R n als die Einheitskugel anzusehen, die auf den Ursprung zentriert ist. Für eine Funktion f an S n -1 wird der kugelförmige Laplace-Operator definiert durch
wobei f ( x / | x |) ist die homogene Erweiterung der Funktion f bis R n - {0} und
- ist der Laplace-Operator des umgebenden euklidischen Raums. Konkret bedeutet dies die bekannte Formel für das Euklidische Laplace-Modell in sphärischen Polarkoordinaten:
Allgemeiner kann man einen ähnlichen Trick formulieren, indem man das Laplace-Bündel mit dem normalen Bündel definiert -Beltrami-Operator eines beliebigen Riemannschen Mannigfaltigkeitsbereichs isometrisch eingebettet als Hyperfläche des euklidischen Raums.
Außerdem kann der Laplace-Beltrami-Operator auf der Kugel in einem normalen Koordinatensystem intrinsisch beschrieben werden. ([1945[1945) Kugelkoordinaten auf der Kugel in Bezug auf einen bestimmten Punkt p der Kugel (der "Norden") sein Pol "), das sind geodätische Polarkoordinaten in Bezug auf p . Hier stellt [1945 die Breitengradmessung entlang einer geodätischen Einheitsgeschwindigkeit von p und [1945 einen Parameter dar, der die Wahl der Richtung der geodätischen Richtung in S darstellt. 19659018] n -1 . Dann hat der kugelförmige Laplace-Spieler die Form:
wobei ist der Laplace-Beltrami-Operator auf der gewöhnlichen Einheit ( n - 2) - Kugel. Insbesondere für die normale 2-Kugel mit Standardnotation für Polarkoordinaten erhalten wir:
- Hyperbolischer Raum
Eine ähnliche Technik arbeitet im hyperbolischen Raum. Hier kann der hyperbolische Raum H n -1 in den dimensionalen Minkowski-Raum n eingebettet werden, ein realer Vektorraum, der mit der quadratischen Form ausgestattet ist
Then Hn is the subset of the future null cone in Minkowski space given by
Then
Here is the degree zero homogeneous extension of f to the interior of the future null cone and □ is the wave operator
The operator can also be written in polar coordinates. Let (tξ) be spherical coordinates on the sphere with respect to a particular point p of Hn−1 (say, the center of the Poincaré disc). Here t represents the hyperbolic distance from p and ξ a parameter representing the choice of direction of the geodesic in Sn−2. Then the hyperbolic Laplacian has the form:
where is the Laplace–Beltrami operator on the ordinary unit (n − 2)-sphere. In particular, for the hyperbolic plane using standard notation for polar coordinates we get:
See also[edit]
- ^ Lichnerowicz, Andre (1958). Geometrie des groupes de transformations. Paris: Dunod.
- ^ Obata, Morio (1962). "Certain conditions for a Riemannian manifold to be isometric with a sphere". J. Mathematik. Soc. Jpn. 14 (3): 333–340. doi:10.2969/jmsj/01430333.
- ^ Chavel, Isaac (1984), Eigenvalues in Riemannian GeometryPure and Applied Mathematics, 115 (2nd ed.), Academic Press, ISBN 978-0-12-170640-1
- ^ Chanillo, Sagun, Chiu, Hung-Lin and Yang, Paul C. (2012). "Embeddability for 3-dimensional CR manifolds and CR Yamabe Invariants". Duke Mathematical Journal. 161 (15): 2909–2921. arXiv:1007.5020. doi:10.1215/00127094-1902154.CS1 maint: Multiple names: authors list (link)
References[edit]
- Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciencesDover, ISBN 978-0-486-66169-8
- Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric AnalysisBerlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
- Solomentsev, E.D.; Shikin, E.V. (2001) [1994]"Laplace–Beltrami equation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of MathematicsSpringer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
![lambda _ {1} = { frac {n} {n-1}} kappa, [19659016] dann ist der Krümmer isometrisch zu der <i> n </i> -dimensionalen Kugel <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb9b91588c2562118d5a1988a73f8ac879e65d1)
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